Le equazioni binomie
Le equazioni binomie di grado n si presentano in questa forma $$ ax^n + b = 0 $$ Dove n è un numero intero positivo e i coefficienti a,b sono due numeri reali con a<>0.
Come risolvere un'equazione binomia
Sono equazioni abbastanza semplici da risolvere.
Basta esplicitare l'incognita e calcolare la radice ennesima in entrambi i membri dell'equazione.
$$ x^n = - \frac{b}{a} $$
$$ \sqrt[n]{x^n} = \sqrt[n]{ - \frac{b}{a} } $$
$$ x = \sqrt[n]{ - \frac{b}{a} } $$
A questo punto ci sono due possibilità
- n=dispari
se il grado (n) dell'equazione è dispari l'equazione ha una sola soluzione - n=pari
se il grado (n) dell'equazione è pari, l'equazione ha due soluzioni reali purché il radicando sia non negativo
Nota. Se il radicando -b/a è negativo e l'indice del radicale è pari, l'equazione non ha soluzioni reali (ossia è impossibile) perché non esiste nessun numero reale che elevato per se stesso un numero pari di volte dia come risultato un numero negativo.
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero l'equazione di terzo grado
$$ 2x^3 + 54 = 0 $$
E' un equazione di grado dispari. Quindi ha una soluzione reale.
Esplicito l'incognita
$$ x^3 = - \frac{54}{2}$$
$$ x^3 = - 27 $$
Calcolo la radice cubica in entrambi i membri dell'equazione
$$ \sqrt[3]{ x^3 } = \sqrt[3]{ - 27 } $$
$$ x = \sqrt[3]{ - 27 } $$
La radice cubica di -27 è -3 perché (-3)3=-27
$$ x = -3 $$
L'equazione è risolta.
Esempio 2
Considero l'equazione di quarto grado
$$ 2x^4 + 32 = 0 $$
Ricavo l'incognita x
$$ x^4 = \frac{-32}{2} $$
$$ x^4 = -16 $$
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni e calcolo la radice quarta a entrambi i membri
$$ \sqrt[4]{ x^4 } = \sqrt[4]{ -16 } $$
$$ x = \sqrt[4]{ -16 } $$
In questo caso il radicale ha indice pari (4) ma il radicando è negativo.
Quindi, l'equazione è impossibile e non ha soluzioni reali.
Esempio 3
Considero l'equazione di quarto grado
$$ 2x^4 - 32 = 0 $$
Ricavo l'incognita x
$$ x^4 = \frac{32}{2} $$
$$ x^4 = 16 $$
Calcolo la radice quarta a entrambi i membri
$$ \sqrt[4]{ x^4 } = \sqrt[4]{ 16 } $$
$$ x = \sqrt[4]{ 16 } $$
In questo caso l'indice è pari (4) e il radicando è positivo (16). Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.
La radice quarta di 16 è ±2 perché (-2)4=16 e 24=16
$$ x = \pm 2 $$
Pertanto, l'equazione binomia ha due soluzioni reali.
E così via.
