Le equazioni binomie

Le equazioni binomie di grado n si presentano in questa forma $$ ax^n + b = 0 $$ Dove n è un numero intero positivo e i coefficienti a,b sono due numeri reali con a<>0.

Come risolvere un'equazione binomia

Sono equazioni abbastanza semplici da risolvere.

Basta esplicitare l'incognita e calcolare la radice ennesima in entrambi i membri dell'equazione.

$$ x^n = - \frac{b}{a} $$

$$ \sqrt[n]{x^n} = \sqrt[n]{ - \frac{b}{a} } $$

$$ x = \sqrt[n]{ - \frac{b}{a} } $$

A questo punto ci sono due possibilità

  • n=dispari
    se il grado (n) dell'equazione è dispari l'equazione ha una sola soluzione
  • n=pari
    se il grado (n) dell'equazione è pari, l'equazione ha due soluzioni reali purché il radicando sia non negativo

Nota. Se il radicando -b/a è negativo e l'indice del radicale è pari, l'equazione non ha soluzioni reali (ossia è impossibile) perché non esiste nessun numero reale che elevato per se stesso un numero pari di volte dia come risultato un numero negativo.

    Un esempio pratico

    Esempio 1

    Considero l'equazione di terzo grado

    $$ 2x^3 + 54 = 0 $$

    E' un equazione di grado dispari. Quindi ha una soluzione reale.

    Esplicito l'incognita

    $$ x^3 = - \frac{54}{2}$$

    $$ x^3 = - 27 $$

    Calcolo la radice cubica in entrambi i membri dell'equazione

    $$ \sqrt[3]{ x^3 } = \sqrt[3]{ - 27 } $$

    $$ x = \sqrt[3]{ - 27 } $$

    La radice cubica di -27 è -3 perché (-3)3=-27

    $$ x = -3 $$

    L'equazione è risolta.

    Esempio 2

    Considero l'equazione di quarto grado

    $$ 2x^4 + 32 = 0 $$

    Ricavo l'incognita x

    $$ x^4 = \frac{-32}{2} $$

    $$ x^4 = -16 $$

    Applico la proprietà invariantiva delle equazioni e calcolo la radice quarta a entrambi i membri

    $$ \sqrt[4]{ x^4 } = \sqrt[4]{ -16 } $$

    $$ x = \sqrt[4]{ -16 } $$

    In questo caso il radicale ha indice pari (4) ma il radicando è negativo.

    Quindi, l'equazione è impossibile e non ha soluzioni reali.

    Esempio 3

    Considero l'equazione di quarto grado

    $$ 2x^4 - 32 = 0 $$

    Ricavo l'incognita x

    $$ x^4 = \frac{32}{2} $$

    $$ x^4 = 16 $$

    Calcolo la radice quarta a entrambi i membri

    $$ \sqrt[4]{ x^4 } = \sqrt[4]{ 16 } $$

    $$ x = \sqrt[4]{ 16 } $$

    In questo caso l'indice è pari (4) e il radicando è positivo (16). Quindi l'equazione ha due soluzioni reali.

    La radice quarta di 16 è ±2 perché (-2)4=16 e 24=16

    $$ x = \pm 2 $$

    Pertanto, l'equazione binomia ha due soluzioni reali.

    E così via.

     


     

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