Sistema di equazioni fratto

Un sistema di equazioni è detto sistema fratto o frazionario se include almeno una delle incognite compare al denominatore di una frazione.

Come si risolve un sistema di equazioni fratto

Per risolvere questo tipo di sistema

  1. Verifico le condizioni di esistenza per ricondurre il sistema a un sistema di equazioni intero
  2. Trovo le soluzioni del sistema intero (se esistono)
  3. Elimino le soluzioni del sistema intero che non soddisfano le condizioni di esistenza del sistema fratto
  4. Le soluzioni restanti sono le soluzioni del sistema fratto

    Un esempio pratico

    Questo sistema è un sistema di equazioni fratto perché la prima equazione è un'equazione fratta

    $$ \begin{cases} \frac{2}{x}+ \frac{1}{y} =0 \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$

    La condizione di esistenza (C.E.) del sistema fratto è x≠0 e y≠0

    $$ C:E: \ : \ x \ne 0 \ ∧ \ y \ne 0 $$

    Applico la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplicando entrambi i membri della prima equazione per xy

    $$ \begin{cases} xy \cdot ( \frac{2}{x}+ \frac{1}{y} ) = xy \cdot 0 \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} xy \cdot \frac{2}{x} + xy \cdot \frac{1}{y} = 0 \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} 2y + x = 0 \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$

    In questo modo ottengo un sistema di equazioni intero.

    Nota. In alternativa avrei potuto calcolare il minimo comune multiplo del denominatore nella prima equazione. Il risultato è sempre lo stesso. $$ \begin{cases} \frac{2y+x}{xy} =0 \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2y+x =0 \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$

    Risolvo il sistema di equazioni con il metodo della sostituzione.

    Esplicito la variabile x nella prima equazione e sostituisco x=-2y nella seconda equazione del sistema.

    $$ \begin{cases} x = -2y \\ \\ 8x+15y=1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x = -2y \\ \\ 8 \cdot (-2y) +15y =1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x = -2y \\ \\ -16y +15y =1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x = -2y \\ \\ -y =1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x = -2y \\ \\ y =-1 \end{cases} $$

    Una volta trovata l'incognita y nella seconda equazione, sostituisco y=-1 nella prima equazione

    $$ \begin{cases} x = -2 \cdot (-1) \\ \\ y =-1 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} x =2 \\ \\ y =-1 \end{cases} $$

    Pertanto, la soluzione del sistema intero è x=2 e y=-1.

    $$ (x;y) = (2;-1) $$

    Questa soluzione è anche la soluzione del sistema fratto perché soddisfa la condizione di esistenza x≠0 e y≠0

    $$ \begin{cases} x =2 \\ \\ y =-1 \\ \\ x \ne 0 \\ \\ y \ne 0 \end{cases} $$

    Verifica. Per verificare il risultato rappresento le due equazioni del sistema fratto sul piano cartesiano. Come previsto le rette si intersecano nel punto (x;y)=(2;-1). La soluzione del sistema fratto è corretta.
    la soluzione del sistema fratto

    E così via.

     


     

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