Equazioni numeriche intere

Le equazioni numeriche intere sono equazioni in cui l'incognita ha un coefficiente numerico e non è presente in alcun denominatore.

In altre parole, un'equazione è numerica e intera se rispetta due condizioni:

• Un'equazione è "intera" se l'incognita non compare al denominatore.

  Nota. Si parla di equazioni "intere" riferendosi all'incognita e non ai coefficienti che possono anche essere frazionari.

• Un'equazione è "numerica" se il coefficiente dell'incognita è un numero e non un letterale.

Un esempio pratico

Considero questa equazione

$$ \frac{1}{2} x + 3 = \frac{15}{2} $$

L'equazione è "intera" perché l'incognita x non si trova al denominatore.

L'equazione è "numerica" perché il coefficiente dell'incognita è un numero (1/2) e non un letterale.

Quindi, si tratta di un'equazione numerica intera.

Esempio 2

Questa equazione è numerica perché il coefficiente dell'incognita x è un numero

$$ \frac{1}{2x} + 3 = \frac{15}{2} $$

Tuttavia, l'equazione "non è intera" perché l'incognita x si trova al denominatore.

Pertanto, non è un'equazione numerica intera.

Esempio 3

Questa equazione è "intera" perché l'incognita x non è al denominatore

$$ \frac{a}{2} x + 3 = \frac{15}{2} $$

Tuttavia, l'equazione "non è numerica" perché nel coefficiente dell'incognita x c'è un letterale (a).

Quindi, non è un'equazione numerica intera.

Le equazioni numeriche intere di 1° grado

Le equazioni numeriche intere di 1° grado, con una variabile, hanno l’incognita x con esponente uguale a 1. Ad esempio $$ 2x = 8 $$

Queste equazioni hanno il vantaggio d’essere sempre riconducibili alla forma ax=b

$$ ax = b $$

Dove "a" è il coefficiente dell’incognita e "b" è il termine noto.

Pertanto, sono facilmente risolvibili.

Come risolvere un'equazione numerica intera di 1° grado

Se il coefficiente dell’incognita è diverso da zero (a≠0) ’equazione è detta determinata perché ha una e una sola soluzione.

$$ x = \frac{b}{a} $$

Nota. Ho semplicemente applicato il 2° principio di equivalenza dividendo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente “a” $$ ax = b $$ $$ \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} $$ Poi ho semplificato l’equazione $$ \require{cancel} \frac{\cancel{a}x}{\cancel{a}} = \frac{b}{a} $$ $$ x = \frac{b}{a} $$

Viceversa se il coefficiente “a” è uguale a zero (a=0) l’equazione potrebbe essere

• Un’equazione indeterminata se ha infinite soluzioni. Questo accade se anche il termine noto "b" è uguale a zero (b=0)

  Esempio. Questa equazione è indeterminata perché è soddisfatta per qualsiasi valore assegno all'incognita x. $$ 0x = 0 $$ Ad esempio, se x=2 o x=3, l'equazione è sempre 0=0. Quindi, ha infinite soluzioni.

• Un’equazione impossibile se non ha soluzioni. Questo si verifica se il termine noto "b" è diverso da zero (b≠0).

  Esempio. Questa equazione è impossibile perché non è soddisfatta per nessun valore dell'incognita x. $$ 0x = 2 $$ Lo zero è l'elemento assorbente della moltiplicazione. Quindi, qualsiasi valore (x=2, x=3, ecc.) moltiplicato per zero è sempre uguale a zero. In ogni caso l'equazione si riconduce a 0=2. Pertanto non è soddisfatta.

Un esempio pratico

Considero l'equazione numerica intera di 1° grado con una variabile incognita x

$$ 5x - 1 = 2x + 5 $$

Applico il primo principio di equivalenza e sottraggo -2x in entrambi i membri

$$ 5x - 1 - 2x = 2x + 5 -2x $$

$$ 3x - 1 = 5 $$

Applico nuovamente il primo principio di equivalenza e sommo +1 a entrambi i membri dell'equazione.

$$ 3x - 1 + 1 = 5 + 1 $$

$$ 3x = 6 $$

Ora l'equazione è nella forma ax=b.

Sia il coefficiente dell'incognita che il termine noto sono diversi da zero, quindi l'equazione è determinata ossia ha una e una sola soluzione.

Applico il secondo principio di equivalenza e divido per 3 entrambi i membri dell'equazione.

$$ \frac{ 3x }{3} = \frac{ 6 }{3} $$

$$ \frac{ \cancel{3}x }{\cancel{3}} = 2 $$

$$ x= 2 $$

La soluzione dell'equazione è x=2

Verifica. Sostituisco x=2 all'equazione iniziale. $$ 5x - 1 = 2x + 5 $$ $$ 5 \cdot 2 - 1 = 2 \cdot 2 + 5 $$ Poi svolgo i calcoli. $$ 10 - 1 = 4 + 5 $$ $$ 9 = 9 $$ L'equazione è soddisfatta. Quindi, la soluzione x=2 è corretta.

E così via.