Metodo del confronto

Il metodo del confronto è un metodo per risolvere un sistema di equazioni. $$ \begin{cases} a_1x_1 + b_1y_1 = c_1 \\ \\ a_2x_2 + b_2y_2 = c_2 \end{cases} $$

Come funziona

1. Esplicito la stessa variabile in entrambe le equazioni. Ad esempio y. $$ \begin{cases} y_1 = - \frac{a_1}{b_1} x_1 - \frac{ c_1 }{b_1} \\ \\ y_2 = - \frac{a_2}{b_2} x_2 - \frac{ c_2 }{b_2} \end{cases} $$
2. Scrivo un'equazione aggiuntiva per eguagliare le due espressioni y=y e da questa ricavo la variabile x $$ \begin{cases} y_1 = - \frac{a_1}{b_1} x_1 - \frac{ c_1 }{b_1} \\ \\ y_2 = - \frac{a_2}{b_2} x_2 - \frac{ c_2 }{b_2} \\ \\ y_1 = y_2 \end{cases} $$
3. Sostituisco x in una delle altre equazioni per ottenere la variabile y.

Nota. La scelta della variabile iniziale è indifferente. A seconda della convenienza nei calcoli posso scegliere x oppure y. Generalmente, si sceglie la via più facile (rasoio di Occam).

Il metodo risolutivo del confronto posso usarlo per risolvere sistemi di primo grado di due o più equazioni con due o più incognite.

Un esempio pratico

Considero questo sistema di equazioni con due variabili incognite x e y

$$ \begin{cases} 2x+y=4 \\ \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

Per risolverlo uso il metodo del confronto.

Esplicito la variabile y in entrambe le equazioni

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ 2y=2-3x \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ y=\frac{2-3x}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ y=\frac{2}{2}-\frac{3x}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ y=1-\frac{3x}{2} \end{cases} $$

Ora entrambe le equazioni determinano il valore della variabile y.

Questo mi permette di aggiungere al sistema una terza equazione y=y mettendo a confronto le due espressioni.

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ y=1-\frac{3x}{2} \\ \\ y=y \end{cases} $$

Nell'equazione y=y sostituisco nel primo membro y=4-2x e nel secondo membro y=2-3x/2

Nel confronto è scomparsa la variabile y.

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ y=1-\frac{3x}{2} \\ \\ 4-2x=1-\frac{3x}{2} \end{cases} $$

A questo punto risolvo la terza equazione per ricavare il valore della variabile x.

$$ 4-2x=1-\frac{3x}{2} $$

$$ \frac{3x}{2}-2x=1-4 $$

$$ \frac{3x-4x}{2}=-3 $$

$$ \frac{-x}{2}=-3 $$

$$ \frac{x}{2}=3 $$

$$ x=3 \cdot 2 $$

$$ x=6 $$

Ora il sistema di equazioni è

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ y=1-\frac{3x}{2} \\ \\ x=6 \end{cases} $$

Una volta trovato il valore della variabile x=6, lo sostituisco in una delle equazioni del sistema.

Ad esempio, sostituisco x=6 nella prima equazione ed elimino la seconda equazione.

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ \\ \require{cancel} \cancel{ y=1-\frac{3x}{2} } \\ \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2 \cdot 6 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-12 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=-8 \\ \\ x=6 \end{cases} $$

Pertanto, la soluzione del sistema è la coppia x=6 e y=-8

Nota. La scelta dell'equazione in cui inserire x=6 è indifferente. In genere si sceglie quella con i calcoli più semplici. Avrei potuto scegliere anche la seconda equazione. Il risultato finale sarebbe stato lo stesso. $$ \begin{cases} \require{cancel} \cancel{ y=4-2x } \\ \\ y=1-\frac{3x}{2} \\ \\ x=6 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=1-\frac{3 \cdot 6}{2} \\ \\ x=6 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=1-\frac{18}{2} \\ \\ x=6 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=1-9 \\ \\ x=6 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} y=-8 \\ \\ x=6 \end{cases} $$ La soluzione finale del sistema di equazioni è sempre x=6 e y=-8.

E così via.