Equazioni biquadratiche

Un'equazione biquadratica è un'equazione trinomia di quarto grado $$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$

Le equazioni biquadratiche si risolvono come le equazioni trinomie.

Basta introdurre una variabile ausiliaria z=x2 per ricondurre il problema a un'equazione di 2° grado

$$ az^2 + bz + c = 0 $$

Una volta trovate le radici z1 e z2 della variabile z, se esistono, si trovano indirettamente anche le radici dell'incognita x sapendo che z=x2

$$ x_1 = \pm \sqrt{z_1} $$

$$ x_2 = \pm \sqrt{z_2} $$

    Un esempio pratico

    Considero l'equazione biquadratica

    $$ x^4 - 7x^2 - 144 = 0 $$

    Introduco la variabile ausiliaria z=x2

    $$ z^2 - 7z - 144 = 0 $$

    In questo modo ottengo un'equazione di secondo grado.

    Il discriminante dell'equazione è positivo. Quindi, l'equazione ha due soluzioni reali distinte.

    $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-144)= 59 + 576 = 625 $$

    Calcolo le radici z1 e z2 dell'equazione usando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

    $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

    $$ z = \frac{-(-7) \pm \sqrt{625}}{2} $$

    $$ z = \frac{7 \pm 25}{2} $$

    $$ z = \begin{cases} \frac{7-25}{2} = -9 \\ \\ \frac{7 + 25}{2} = 16 \end{cases} $$

    Una volta trovate le radici z1=-9 e z2=16 calcolo le radici dell'incognita z sapendo che z=x2

    $$ \begin{cases} z_1 = x_1^2 \\ \\ z_2 = x_2^2 \end{cases} $$

    $$ \begin{cases} -9 = x^2 \\ \\ 16 = x_2^2 \end{cases} $$

    Per la proprietà invariantiva delle equazioni calcolo la radice quadrata in entrambi i membri delle equazioni.

    $$ \begin{cases} \sqrt{ -9 } = \sqrt{ x^2 } \\ \\ \sqrt{ 16 } = \sqrt{ x_2^2 } \end{cases} $$

    In questo modo ricavo le soluzioni delle incognite x.

    $$ \begin{cases} x_1 = \sqrt{ -9 } \\ \\ x_2 = \pm 4 \end{cases} $$

    La prima soluzione x1=√(-9) devo scartarla perché è impossibile in quanto il radicando è negativo e nessun numero reale moltiplicato per se stesso un numero pari di volte dà come risultato un numero negativo

    Quindi, le soluzioni dell'equazione iniziale x4 - 7x2 - 144 = 0 sono

    $$ x = \pm 4 $$

    E così via.

     


     

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