Equazioni biquadratiche
Un'equazione biquadratica è un'equazione trinomia di quarto grado $$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$
Le equazioni biquadratiche si risolvono come le equazioni trinomie.
Basta introdurre una variabile ausiliaria z=x2 per ricondurre il problema a un'equazione di 2° grado
$$ az^2 + bz + c = 0 $$
Una volta trovate le radici z1 e z2 della variabile z, se esistono, si trovano indirettamente anche le radici dell'incognita x sapendo che z=x2
$$ x_1 = \pm \sqrt{z_1} $$
$$ x_2 = \pm \sqrt{z_2} $$
Un esempio pratico
Considero l'equazione biquadratica
$$ x^4 - 7x^2 - 144 = 0 $$
Introduco la variabile ausiliaria z=x2
$$ z^2 - 7z - 144 = 0 $$
In questo modo ottengo un'equazione di secondo grado.
Il discriminante dell'equazione è positivo. Quindi, l'equazione ha due soluzioni reali distinte.
$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-144)= 59 + 576 = 625 $$
Calcolo le radici z1 e z2 dell'equazione usando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
$$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ z = \frac{-(-7) \pm \sqrt{625}}{2} $$
$$ z = \frac{7 \pm 25}{2} $$
$$ z = \begin{cases} \frac{7-25}{2} = -9 \\ \\ \frac{7 + 25}{2} = 16 \end{cases} $$
Una volta trovate le radici z1=-9 e z2=16 calcolo le radici dell'incognita z sapendo che z=x2
$$ \begin{cases} z_1 = x_1^2 \\ \\ z_2 = x_2^2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -9 = x^2 \\ \\ 16 = x_2^2 \end{cases} $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni calcolo la radice quadrata in entrambi i membri delle equazioni.
$$ \begin{cases} \sqrt{ -9 } = \sqrt{ x^2 } \\ \\ \sqrt{ 16 } = \sqrt{ x_2^2 } \end{cases} $$
In questo modo ricavo le soluzioni delle incognite x.
$$ \begin{cases} x_1 = \sqrt{ -9 } \\ \\ x_2 = \pm 4 \end{cases} $$
La prima soluzione x1=√(-9) devo scartarla perché è impossibile in quanto il radicando è negativo e nessun numero reale moltiplicato per se stesso un numero pari di volte dà come risultato un numero negativo
Quindi, le soluzioni dell'equazione iniziale x4 - 7x2 - 144 = 0 sono
$$ x = \pm 4 $$
E così via.
