La regola di Cramer

La regola di Cramer consente di risolvere un sistema di equazioni non omogeneo, con i termini noti diversi da zero, quando il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite.

Il valore di ogni incognita del sistema di equazioni è determinato dal rapporto $$ \frac{ \Delta_x }{ \Delta } $$ Dove Δ è il determinante della matrice dei coefficienti mentre Δx è il determinante della matrice dei coefficienti ottenuta sostituendo i termini noti alla colonna dell'incognita x.

Se il determinante è diverso da zero Δ≠0 il sistema ammette una soluzione (sistema determinato).

$$ \Delta \ne 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ ammette \ una \ soluzione $$

Viceversa, se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero Δ=0 il sistema non ha una soluzione.

$$ \Delta = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ non \ ha \ una \ soluzione $$

In questo caso il sistema di equazioni non ha soluzioni (sistema impossibile) oppure ha infinite soluzioni (sistema indeterminato).

Nota. La regola di Cramer è applicabile soltanto nei sistemi quadrati, dove il numero di equazioni e di incognite è uguale. Se il numero delle equazioni e delle variabili è diverso, posso verificare l'esistenza delle soluzioni tramite l'analisi dei minori della matrice dei coefficienti (metodo di Cramer per i sistemi rettangolari).

Come funziona

  1. Calcolo il determinante Δ della matrice dei coefficienti A del sistema. $$ \Delta = det(A) $$ Se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero, il sistema non ammette soluzioni. Se è diverso da zero, passo al punto 2.
  2. Scrivo una matrice Ax sostituendo la colonna dell'incognita x con la colonna dei termini noti b del sistema. Poi calcolo il determinante Δx della matrice Ax . $$ \Delta_x = det(A_x) $$
  3. Il valore dell'incognita x è uguale al rapporto tra il denominatore Δx della matrice Ax e il denominatore Δ della matrice dei coefficienti. $$ \frac{ \Delta_x }{ \Delta } $$
  4. Ripeto lo stesso calcolo per ogni incognita del sistema. $$ \frac{ \Delta_y }{ \Delta } , \frac{ \Delta_z }{ \Delta }, ... $$

Un esempio pratico

Questo sistema di equazioni è composto da 3 equazioni e 3 incognite.

E' un sistema non omogeno perché i termini noti sono diversi da zero.

$$ \begin{cases} 3x+2y-z= 1 \\ x - y +5z =-2 \\2x + y = 3 \end{cases} $$

La matrice dei coefficienti del sistema è

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Il vettore dei termini noti b è

$$ b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Calcolo il determinante della matrice dei coefficienti A

$$ \Delta = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} $$

$$ \Delta = 3 \cdot (-5) - 2 \cdot (-10) -1 \cdot (3) $$

$$ \Delta = -15 + 20 -3 $$

$$ \Delta = 2 $$

Il determinante è diverso da zero, quindi il sistema ha una soluzione.

Calcolo l'incognita x

Nella matrice dei coefficienti sostituisco la colonna dell'incognita x (la prima) con la colonna dei termini noti b.

$$ A_x = \begin{pmatrix} \color{red} 1 & 2 & -1 \\ \color{red}{-2} & -1 & 5 \\ \color{red}3 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Poi calcolo il determinante Δx della matrice Ax.

$$ \Delta_x = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} $$

$$ \Delta_x = 1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-15) -1 \cdot 1 $$

$$ \Delta_x = -5 +30 -1 $$

$$ \Delta_x = 24 $$

Infine calcolo l'incognita x tramite il rapporto tra il determinante Δx=24 e il determinante Δ=2 della matrice dei coefficienti.

$$ x = \frac{\Delta_x }{\Delta} = \frac{24}{2} = 12 $$

Nella soluzione del sistema l'incognita x è uguale a 12.

Calcolo l'incognita y

Nella matrice dei coefficienti sostituisco la colonna dell'incognita y (la seconda) con la colonna dei termini noti b.

$$ A_y = \begin{pmatrix} 3 & \color{red}1 & -1 \\ 1 & \color{red}{-2} & 5 \\ 2 & \color{red}3 & 0 \end{pmatrix} $$

Poi calcolo il determinante Δy della matrice Ay.

$$ \Delta_y = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} $$

$$ \Delta_y = 3 \cdot (-15) - 1 \cdot (-10) - 1 \cdot 7 $$

$$ \Delta_y = -45 +10 - 7 $$

$$ \Delta_y = -42 $$

Infine calcolo il valore dell'incognita y tramite il rapporto tra il determinante Δy=-42 e il determinante Δ=2 della matrice dei coefficienti.

$$ y = \frac{\Delta_y }{\Delta} = \frac{-42}{2} = -21 $$

Nella soluzione del sistema l'incognita y è uguale a -21.

Calcolo l'incognita z

Nella matrice dei coefficienti sostituisco la colonna dell'incognita z (la terza) con la colonna dei termini noti b.

$$ A_z = \begin{pmatrix} 3 & 2 & \color{red}1 \\ 1 & -1 & \color{red}{-2} \\ 2 & 1 & \color{red}3 \end{pmatrix} $$

Poi calcolo il determinante Δz della matrice Az.

$$ \Delta_z = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} $$

$$ \Delta_z = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 7 + 1 \cdot (3) $$

$$ \Delta_z = -3 - 14 +3 $$

$$ \Delta_z = -14 $$

Infine calcolo il valore dell'incognita z tramite il rapporto tra il determinante Δz=-14 e il determinante Δ=2 della matrice dei coefficienti.

$$ z = \frac{\Delta_z }{\Delta} = \frac{-14}{2} = -7 $$

Nella soluzione del sistema l'incognita z è uguale a -7.

La soluzione

La soluzione del sistema di equazioni è

$$ x=12 \\ y=-21 \\ z = -7 $$

Verifica. Sostituisco al sistema di equazioni i valori appena calcolati. $$ \begin{cases} 3x+2y-z= 1 \\ x - y +5z =-2 \\2x + y = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3(12)+2(-21)-(-7)= 1 \\ 12 - (-21) +5(-7) =-2 \\2(12) + (-21) = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 36-42+7= 1 \\ 12 +21 -35 =-2 \\ 24 - 21 = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 1= 1 \\ -2 =-2 \\ 3 = 3 \end{cases} $$ La soluzione è corretta.

La dimostrazione

Considero un sistema di equazioni di primo grado a due variabili

$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Applico il metodo della riduzione per ricavare le soluzioni

Moltiplico entrambi i membri della prima equazione per b2.

$$ \begin{cases} b_2 \cdot (a_1 x + b_1 y) = b_2 \cdot c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a_1 b_2 x + b_1 b_2 y = b_2c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Moltiplico entrambi i membri della prima equazione per b1.

$$ \begin{cases} a_1 b_2 x + b_1 b_2 y = b_2c_1 \\ \\ b_1 \cdot (a_2x + b_2y) = b_1 \cdot c_2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a_1 b_2 x + b_1 b_2 y = b_2c_1 \\ \\ a_2b_1x + b_1b_2y = b_1 c_2 \end{cases} $$

Ora sottraggo le due equazioni membro a membro

$$ \begin{matrix} a_1 b_2 x & +b_1 b_2 y & =b_2c_1 & - \\ a_2b_1x & +b_1b_2y & = b_1 c_2 & \\ \hline a_1 b_2 x - a_2b_1x & \require{cancel} \cancel{ +b_1 b_2 y} - \cancel{b_1 b_2 y} & = b_2c_1 - b_1 c_2 \end{matrix} $$

Poi ricavo la x dal risultato della riduzione

$$ a_1 b_2 x - a_2b_1x = b_2c_1 - b_1 c_2 $$

$$ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} $$

Una volta trovata la variabile x, la sostituisco in una delle due equazioni del sistema per ricavare la y.

Scelgo la prima equazione

$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ \\ \cancel{a_2x + b_2y = c_2} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a_1 ( \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} ) + b_1 y = c_1 \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b_1 y = c_1 - a_1 ( \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} ) \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{c_1}{b_1} - \frac{a_1}{b_1} ( \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} ) \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{c_1(a_1 b_2 - a_2b_1)-a_1(b_2c_1 - b_1 c_2)}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{c_1(a_1 b_2 - a_2b_1)-a_1(b_2c_1 - b_1 c_2)}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{a_1 b_2c_1 - a_2b_1c_1-a_1b_2c_1 + a_1b_1 c_2}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{ - a_2b_1c_1 + a_1b_1 c_2}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{ a_1 c_2- a_2c_1}{a_1 b_2 - a_2b_1} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

Ho trovato le soluzioni delle variabili x e y

Il determinante di entrambe le soluzioni è a1b2-a2b1

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 $$

Il numeratore della formula y è a1c2-a2c1

E' il determinante Δy ottenuto sostituendo nella matrice i termini noti (c1,c2) ai coefficienti (a1,a2) della variabile x

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1 $$

Il numeratore della formula x è b2c1-b1c2

E' il determinante Δx ottenuto sostituendo nella matrice i termini noti (c1,c2) ai coefficienti (b1,b2)della variabile y

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = b_2c_1 - b_1c_2 $$

Sostituisco Δ, Δx e Δy nel sistema di equazioni

$$ \begin{cases} y = \frac{ a_1 c_2- a_2c_1}{a_1 b_2 - a_2b_1} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y = \frac{ \Delta_y}{\Delta} \\ \\ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \end{cases} $$

Questo dimostra le formule di Cramer

Nota. Se il determinante Δ≠0 il sistema di equazioni è determinato. Se il determinante Δ=0 il sistema è indeterminato se Δx=0 e Δy=0 oppure è impossibile se Δx≠0 oppure Δy≠0

E così via.

 


 

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