La regola di Cramer
La regola di Cramer consente di risolvere un sistema di equazioni non omogeneo, con i termini noti diversi da zero, quando il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite.
Il valore di ogni incognita del sistema di equazioni è determinato dal rapporto $$ \frac{ \Delta_x }{ \Delta } $$ Dove Δ è il determinante della matrice dei coefficienti mentre Δx è il determinante della matrice dei coefficienti ottenuta sostituendo i termini noti alla colonna dell'incognita x.
Se il determinante è diverso da zero Δ≠0 il sistema ammette una soluzione (sistema determinato).
$$ \Delta \ne 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ ammette \ una \ soluzione $$
Viceversa, se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero Δ=0 il sistema non ha una soluzione.
$$ \Delta = 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ non \ ha \ una \ soluzione $$
In questo caso il sistema di equazioni non ha soluzioni (sistema impossibile) oppure ha infinite soluzioni (sistema indeterminato).
Nota. La regola di Cramer è applicabile soltanto nei sistemi quadrati, dove il numero di equazioni e di incognite è uguale. Se il numero delle equazioni e delle variabili è diverso, posso verificare l'esistenza delle soluzioni tramite l'analisi dei minori della matrice dei coefficienti (metodo di Cramer per i sistemi rettangolari).
Come funziona
- Calcolo il determinante Δ della matrice dei coefficienti A del sistema. $$ \Delta = det(A) $$ Se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero, il sistema non ammette soluzioni. Se è diverso da zero, passo al punto 2.
- Scrivo una matrice Ax sostituendo la colonna dell'incognita x con la colonna dei termini noti b del sistema. Poi calcolo il determinante Δx della matrice Ax . $$ \Delta_x = det(A_x) $$
- Il valore dell'incognita x è uguale al rapporto tra il denominatore Δx della matrice Ax e il denominatore Δ della matrice dei coefficienti. $$ \frac{ \Delta_x }{ \Delta } $$
- Ripeto lo stesso calcolo per ogni incognita del sistema. $$ \frac{ \Delta_y }{ \Delta } , \frac{ \Delta_z }{ \Delta }, ... $$
Un esempio pratico
Questo sistema di equazioni è composto da 3 equazioni e 3 incognite.
E' un sistema non omogeno perché i termini noti sono diversi da zero.
$$ \begin{cases} 3x+2y-z= 1 \\ x - y +5z =-2 \\2x + y = 3 \end{cases} $$
La matrice dei coefficienti del sistema è
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Il vettore dei termini noti b è
$$ b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Calcolo il determinante della matrice dei coefficienti A
$$ \Delta = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \Delta = 3 \cdot (-5) - 2 \cdot (-10) -1 \cdot (3) $$
$$ \Delta = -15 + 20 -3 $$
$$ \Delta = 2 $$
Il determinante è diverso da zero, quindi il sistema ha una soluzione.
Calcolo l'incognita x
Nella matrice dei coefficienti sostituisco la colonna dell'incognita x (la prima) con la colonna dei termini noti b.
$$ A_x = \begin{pmatrix} \color{red} 1 & 2 & -1 \\ \color{red}{-2} & -1 & 5 \\ \color{red}3 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo il determinante Δx della matrice Ax.
$$ \Delta_x = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \Delta_x = 1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-15) -1 \cdot 1 $$
$$ \Delta_x = -5 +30 -1 $$
$$ \Delta_x = 24 $$
Infine calcolo l'incognita x tramite il rapporto tra il determinante Δx=24 e il determinante Δ=2 della matrice dei coefficienti.
$$ x = \frac{\Delta_x }{\Delta} = \frac{24}{2} = 12 $$
Nella soluzione del sistema l'incognita x è uguale a 12.
Calcolo l'incognita y
Nella matrice dei coefficienti sostituisco la colonna dell'incognita y (la seconda) con la colonna dei termini noti b.
$$ A_y = \begin{pmatrix} 3 & \color{red}1 & -1 \\ 1 & \color{red}{-2} & 5 \\ 2 & \color{red}3 & 0 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo il determinante Δy della matrice Ay.
$$ \Delta_y = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} $$
$$ \Delta_y = 3 \cdot (-15) - 1 \cdot (-10) - 1 \cdot 7 $$
$$ \Delta_y = -45 +10 - 7 $$
$$ \Delta_y = -42 $$
Infine calcolo il valore dell'incognita y tramite il rapporto tra il determinante Δy=-42 e il determinante Δ=2 della matrice dei coefficienti.
$$ y = \frac{\Delta_y }{\Delta} = \frac{-42}{2} = -21 $$
Nella soluzione del sistema l'incognita y è uguale a -21.
Calcolo l'incognita z
Nella matrice dei coefficienti sostituisco la colonna dell'incognita z (la terza) con la colonna dei termini noti b.
$$ A_z = \begin{pmatrix} 3 & 2 & \color{red}1 \\ 1 & -1 & \color{red}{-2} \\ 2 & 1 & \color{red}3 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo il determinante Δz della matrice Az.
$$ \Delta_z = 3 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} $$
$$ \Delta_z = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 7 + 1 \cdot (3) $$
$$ \Delta_z = -3 - 14 +3 $$
$$ \Delta_z = -14 $$
Infine calcolo il valore dell'incognita z tramite il rapporto tra il determinante Δz=-14 e il determinante Δ=2 della matrice dei coefficienti.
$$ z = \frac{\Delta_z }{\Delta} = \frac{-14}{2} = -7 $$
Nella soluzione del sistema l'incognita z è uguale a -7.
La soluzione
La soluzione del sistema di equazioni è
$$ x=12 \\ y=-21 \\ z = -7 $$
Verifica. Sostituisco al sistema di equazioni i valori appena calcolati. $$ \begin{cases} 3x+2y-z= 1 \\ x - y +5z =-2 \\2x + y = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3(12)+2(-21)-(-7)= 1 \\ 12 - (-21) +5(-7) =-2 \\2(12) + (-21) = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 36-42+7= 1 \\ 12 +21 -35 =-2 \\ 24 - 21 = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 1= 1 \\ -2 =-2 \\ 3 = 3 \end{cases} $$ La soluzione è corretta.
La dimostrazione
Considero un sistema di equazioni di primo grado a due variabili
$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$
Applico il metodo della riduzione per ricavare le soluzioni
Moltiplico entrambi i membri della prima equazione per b2.
$$ \begin{cases} b_2 \cdot (a_1 x + b_1 y) = b_2 \cdot c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 b_2 x + b_1 b_2 y = b_2c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$
Moltiplico entrambi i membri della prima equazione per b1.
$$ \begin{cases} a_1 b_2 x + b_1 b_2 y = b_2c_1 \\ \\ b_1 \cdot (a_2x + b_2y) = b_1 \cdot c_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 b_2 x + b_1 b_2 y = b_2c_1 \\ \\ a_2b_1x + b_1b_2y = b_1 c_2 \end{cases} $$
Ora sottraggo le due equazioni membro a membro
$$ \begin{matrix} a_1 b_2 x & +b_1 b_2 y & =b_2c_1 & - \\ a_2b_1x & +b_1b_2y & = b_1 c_2 & \\ \hline a_1 b_2 x - a_2b_1x & \require{cancel} \cancel{ +b_1 b_2 y} - \cancel{b_1 b_2 y} & = b_2c_1 - b_1 c_2 \end{matrix} $$
Poi ricavo la x dal risultato della riduzione
$$ a_1 b_2 x - a_2b_1x = b_2c_1 - b_1 c_2 $$
$$ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} $$
Una volta trovata la variabile x, la sostituisco in una delle due equazioni del sistema per ricavare la y.
Scelgo la prima equazione
$$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ \\ \cancel{a_2x + b_2y = c_2} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 ( \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} ) + b_1 y = c_1 \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} b_1 y = c_1 - a_1 ( \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} ) \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{c_1}{b_1} - \frac{a_1}{b_1} ( \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} ) \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{c_1(a_1 b_2 - a_2b_1)-a_1(b_2c_1 - b_1 c_2)}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{c_1(a_1 b_2 - a_2b_1)-a_1(b_2c_1 - b_1 c_2)}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{a_1 b_2c_1 - a_2b_1c_1-a_1b_2c_1 + a_1b_1 c_2}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{ - a_2b_1c_1 + a_1b_1 c_2}{b_1(a_1 b_2 - a_2b_1)} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{ a_1 c_2- a_2c_1}{a_1 b_2 - a_2b_1} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
Ho trovato le soluzioni delle variabili x e y
Il determinante di entrambe le soluzioni è a1b2-a2b1
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1 $$
Il numeratore della formula y è a1c2-a2c1
E' il determinante Δy ottenuto sostituendo nella matrice i termini noti (c1,c2) ai coefficienti (a1,a2) della variabile x
$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1 $$
Il numeratore della formula x è b2c1-b1c2
E' il determinante Δx ottenuto sostituendo nella matrice i termini noti (c1,c2) ai coefficienti (b1,b2)della variabile y
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = b_2c_1 - b_1c_2 $$
Sostituisco Δ, Δx e Δy nel sistema di equazioni
$$ \begin{cases} y = \frac{ a_1 c_2- a_2c_1}{a_1 b_2 - a_2b_1} \\ \\ x = \frac{b_2c_1 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2b_1} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{ \Delta_y}{\Delta} \\ \\ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \end{cases} $$
Questo dimostra le formule di Cramer
Nota. Se il determinante Δ≠0 il sistema di equazioni è determinato. Se il determinante Δ=0 il sistema è indeterminato se Δx=0 e Δy=0 oppure è impossibile se Δx≠0 oppure Δy≠0
E così via.