Le equazioni letterali
Un'equazione letterale è un'equazione in cui è presente almeno una lettera oltre alle variabili incognite.
La lettera rappresenta un valore sconosciuto o parametro dell'equazione letterale.
Ecco un esempio di equazione letterale.
$$ kx + 2 = 5 $$
In questa equazione è presente una lettera k (parametro) e una variabile incognita (x).
Qual è la differenza tra parametri e variabili incognite? I parametri sono valori costanti imposti al sistema dall'esterno. Le variabili incognite, invece, sono valori che devono essere determinati all'interno del sistema tramite la soluzione dell'equazione.
Le equazioni letterali possono essere intere o fratte.
Spesso sono usate in matematica e in fisica per descrivere le relazioni tra le variabili di un sistema.
Come risolvere un'equazione letterale
La risoluzione di un'equazione letterale richiede la discussione sui possibili valori che posso assegnare alle costanti del sistema ossia alle lettere dei parametri.
Nota. Nel caso delle equazioni letterali fratte devo considerare anche la condizione di esistenza delle frazioni algebriche.
Un esempio pratico
Considero l'equazione letterale intera
$$ kx + k = 0 $$
Riscrivo l'equazione nella forma Ax=B
In altre parole, raccolgo a fattore comune la variabile incognita a sinistra e sposto i termini noti nel membro di destra.
$$ kx = -k $$
Discussione:
Inizio la discussione sui valori assegnabili alla costante k
Se k=0 l'equazione è indeterminata
$$ kx = -k $$
$$ 0x = 0 $$
In questo caso, se k=0 l'equazione è indeterminata.
Se k≠0 l'equazione è determinata
$$ kx = -k $$
Ricavo la variabile incognita da tutto il resto.
$$ \frac{kx}{k} = \frac{-k}{k} $$
$$ \require{cancel} \frac{\cancel{k}x}{\cancel{k}} = \frac{-\cancel{k}}{\cancel{k}} $$
$$ x = -1 $$
In questo caso, se k≠0 l'equazione è determinata e la soluzione è x=1.
Esempio 2
Considero l'equazione letterale fratta
$$ \frac{x-1}{k} + \frac{2x+3}{4k} = \frac{x}{4} $$
Essendo un'equazione fratta, determino la sua condizione di esistenza.
Le frazioni si annullano al denominatore quando k=0.
Quindi, la condizione di esistenza (C.E.) dell'equazione è k≠0
$$ C.E. \ k \ne 0 $$
Raccolgo l'incognita x a fattore comune riscrivendo l'equazione nella forma Ax=B
$$ \frac{x-1}{k} + \frac{2x+3}{4k} = \frac{x}{4} $$
$$ \frac{x-1}{k} + \frac{2x+3}{4k} = \frac{x}{4} $$
$$ \frac{2x+3+4(x-1)}{4k} - \frac{x}{4} =0$$
$$ \frac{2x+3+4(x-1)-kx}{4k} =0$$
$$ \frac{2x+3+4x-4-kx}{4k} =0$$
$$ \frac{6x-1-kx}{4k} =0$$
Semplifico l'equazione fratta applicando i principi di equivalenza. Moltiplico entrambi i membri per 4k.
$$ \frac{6x-1-kx}{4k} \cdot 4k =0 \cdot 4k $$
$$ \frac{6x-1-kx}{\cancel{4k}} \cdot \cancel{4k} =0 $$
$$ 6x-1-kx =0$$
$$ 6x-kx =1$$
$$ 6x-kx =1$$
$$ x(6-k) =1 $$
Discussione:
A questo punto inizio la discussione sulla costante k
Se k=6 l'equazione è impossibile
$$ x \cdot (6-k) =1 $$
$$ x \cdot (6-6) = 1 $$
$$ x \cdot 0 = 1 $$
$$ 0 = 1 $$
Pertanto, se k=6 l'equazione è impossibile perché non ha soluzioni.
Se k=0 l'equazione non rispetta la condizione iniziale
$$ x \cdot (6-k) =1 $$
$$ C.E. \ k \ne 0 $$
Pertanto, se k=0 l'equazione è priva di significato.
Se k≠6 e k≠0 l'equazione è determinata
$$ x \cdot (6-k) =1 $$
Posso ricavare la variabile x dal resto dell'equazione.
$$ \frac{ x \cdot (6-k) } {6-k } = \frac{ 1 }{6-k } $$
$$ \frac{ x \cdot \cancel{(6-k)} } { \cancel{6-k} } = \frac{ 1 }{6-k } $$
$$ x = \frac{ 1 }{6-k } $$
In questo caso, l'equazione è determinata ed esiste una soluzione pari a x=1/(6-k)
E così via.
