Le equazioni equivalenti

Due equazioni sono dette equazioni equivalenti se hanno le stesse incognite e lo stesso insieme di soluzioni.

Ad esempio, queste due equazioni sono equivalenti

$$ 2x - 6 = 0 $$

$$ 2x = 6 $$

perché hanno la stessa incognita (x) e le stesse soluzioni (x=3).

Nota. Per essere equivalenti è necessario che abbiano tutte le soluzioni uguali. Quando soltanto alcune soluzioni sono coincidenti, le due equazioni non sono equivalenti. Ad esempio, queste due equazioni non sono equivalenti $$ 2x = 6 $$ $$ 2x^2 = 18 $$ perché pur avendo la stessa incognita e una soluzione in comune (x=3), la seconda equazione ha anche un'altra soluzione (x=-3).

Due equazioni equivalenti posso ridurle in una forma ridotta tramite la semplificazione delle espressioni applicando i principi di equivalenza delle equazioni.

Ad esempio, le equazioni precedenti sono entrambe divisibili per due.

$$ 2x - 6 = 0 $$

$$ 2x = 6 $$

Applico la proprietà invariantiva delle equazioni e divido per due entrambi i membri delle due equazioni.

$$ \frac{2x - 6}{2} = \frac{0}{2} $$

$$ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} $$

Poi semplifico

$$ \frac{\require{cancel} \cancel{2}x - \cancel{6}_3}{\cancel{2}} = 0 $$

$$ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} = 3 $$

In questo modo ottengo altre equazioni equivalenti ma più semplici da calcolare

$$ x-3 = 0 $$

$$ x = 3 $$

Nota. In questa forma più semplice è più facile trovare l’insieme delle soluzioni di ogni equazione. Ad esempio, la seconda equazione esprime già in modo esplicito la soluzione (x=3).

Applico la proprietà invariantiva alla prima equazione sommando +3 in entrambi i membri

$$ x-3 + 3 = 0 +3 $$

$$ x = 3 $$

Il risultato finale è la stessa equazione equivalente scritta in forma ridotta e irriducibile.

$$ x = 3 $$

E così via.