Come scomporre un'equazione con le radici
Un'equazione di qualsiasi grado con una variabile $$ P(x)=0 $$ può essere scomposta nella forma $$ a \cdot (x - x_n) \cdot ... \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_1) $$ Dove il termine a è il coefficiente dell'incognita con grado più alto e x1,...,xn sono le radici (soluzioni) dell'equazione.
Un esempio pratico
Ho l'equazione di secondo grado
$$ 2x^2 - 10x + 2 = -10 $$
Riscrivo l'equazione in forma normale
$$ 2x^2 - 10x + 2 + 10 = 0 $$
$$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $$
Il coefficiente dell'incognita con grado più alto è a=2
L'equazione ha due soluzioni distinte
$$ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4 \cdot 2 \cdot 12} }{2 \cdot 2} $$
$$ x = \frac{10 \pm \sqrt{100-96} }{4} $$
$$ x = \frac{10 \pm \sqrt{4} }{4} $$
$$ x = \frac{10 \pm 2 }{4} $$
$$ x = \begin{cases} \frac{10 - 2 }{4} = \frac{8}{4} = 2 \\ \\ \frac{10 + 2 }{4} = \frac{12}{4} = 3 \end{cases} $$
Le radici (soluzioni) dell'equazione sono x1=2 e x2=3
Quindi, sapendo che a=2, posso scrivere l'equazione in questa forma equivalente
$$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $$
$$ a \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_1) = 0 $$
$$ 2 \cdot (x-2) \cdot (x-3) = 0 $$
Verifica. Svolgendo i calcoli algebrici ottengo l'equazione iniziale. $$ 2 \cdot (x-2) \cdot (x-3) = 0 $$ $$ (2x-4) \cdot (x-3) = 0 $$ $$ 2x^2 - 6x -4x + 12 = 0 $$ $$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $$
E così via.
