Come scomporre un'equazione con le radici

Un'equazione di qualsiasi grado con una variabile $$P(x)=0$$ può essere scomposta nella forma $$a \cdot (x - x_n) \cdot ... \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_1)$$ Dove il termine a è il coefficiente dell'incognita con grado più alto e x₁,...,x_n sono le radici (soluzioni) dell'equazione.

Un esempio pratico

Ho l'equazione di secondo grado

$$2x^2 - 10x + 2 = -10$$

Riscrivo l'equazione in forma normale

$$2x^2 - 10x + 2 + 10 = 0$$

$$2x^2 - 10x + 12 = 0$$

Il coefficiente dell'incognita con grado più alto è a=2

L'equazione ha due soluzioni distinte

$$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2-4 \cdot 2 \cdot 12} }{2 \cdot 2}$$

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{100-96} }{4}$$

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{4} }{4}$$

$$x = \frac{10 \pm 2 }{4}$$

$$x = \begin{cases} \frac{10 - 2 }{4} = \frac{8}{4} = 2 \\ \\ \frac{10 + 2 }{4} = \frac{12}{4} = 3 \end{cases}$$

Le radici (soluzioni) dell'equazione sono x₁=2 e x₂=3

Quindi, sapendo che a=2, posso scrivere l'equazione in questa forma equivalente

$$2x^2 - 10x + 12 = 0$$

$$a \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_1) = 0$$

$$2 \cdot (x-2) \cdot (x-3) = 0$$

Verifica. Svolgendo i calcoli algebrici ottengo l'equazione iniziale. $$2 \cdot (x-2) \cdot (x-3) = 0$$ $$(2x-4) \cdot (x-3) = 0$$ $$2x^2 - 6x -4x + 12 = 0$$ $$2x^2 - 10x + 12 = 0$$

E così via.