Le equazioni fratte

Un'equazione fratta è un'equazione in cui una o più variabili incognite compaiono al denominatore di almeno uno dei suoi termini.

Ad esempio, questa è equazione fratta perché la variabile incognita x compare al denominatore della frazione.

$$ \frac{x}{x+1} = 3 $$

Le equazioni fratte sono dette

• numeriche o intere se tutti i coefficienti della variabile incognita sono numerici

  Esempio. Questa equazione è numerica perché l'incognita x ha coefficienti numerici. In questo caso i coefficienti sono numeri interi. $$ \frac{4x}{x-1} = \frac{1}{x+1} $$

• letterali se almeno un coefficiente di una variabile incognita contiene una o più lettere

  Esempio. Questa equazione è letterale perché l'incognita x ha un coefficiente letterale (k). $$ \frac{4x}{x-1} = \frac{1}{kx+1} $$

Come si risolve un'equazione fratta?

Nel caso delle equazioni fratte occorre calcolare la condizione di esistenza C.E. delle frazioni algebriche e cercare le soluzioni accettabili che la soddisfano.

In particolar modo, per risolvere le equazioni fratte seguo questi passaggi:

1. Determino la condizione di esistenza C.E. delle frazioni algebriche
2. Trasformo entrambi i membri dell'equazione allo stesso denominatore comune
3. Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per il denominatore comune. In questo modo ottengo un'equazione intera
4. Determino l'insieme delle soluzioni S dell'equazione intera
5. Elimino dall'insieme delle soluzioni S quelle che non soddisfano la condizione di esistenza iniziale C.E. delle frazioni (soluzioni non accettabili).
6. Le eventuali soluzioni che soddisfano le condizioni iniziali sono le soluzioni accettabili dell'equazione fratta.

Nota. E' molto importante non dimenticarsi che le soluzioni devono soddisfare le condizioni di esistenza delle frazioni.

Un esempio pratico

Considero l'equazione

$$ \frac{3}{x} = -2 $$

Determino le condizioni di esistenza C.E. delle frazioni algebriche, ossia i valori della variabile incognita x che non annullano il denominatore delle frazioni.

In questo caso, le frazioni algebriche hanno significato solo se x è diverso da 0.

$$ C.E. \ : \ x \ne 0 $$

Trasformo entrambi i membri dell'equazione fratta allo stesso denominatore comune

$$ \frac{3}{x} + 2 = 0 $$

$$ \frac{3 + 2x}{x} = 0 $$

Moltiplico entrambi i membri per il denominatore comune e semplifico

$$ \frac{3 + 2x}{x} \cdot x = 0 \cdot x $$

$$ \require{cancel} \frac{3 + 2x}{\cancel{x}} \cdot \cancel{x} = 0 $$

$$ 3 + 2x = 0 $$

Ricavo il valore dell'incognita x usando i principi di equivalenza delle equazioni.

Sottraggo -3 da entrambi i membri dell'equazione.

$$ 3 - 3 + 2x = 0 - 3 $$

$$ 2x = - 3 $$

Divido per 2 entrambi i membri dell'equazione.

$$ \frac{2x}{2} = \frac{-3}{2} $$

$$ x = \frac{-3}{2} $$

La soluzione x=-3/2 soddisfa la condizione di esistenza iniziale C.E. ≠ 0.

Quindi, la soluzione x=-3/2 è una soluzione accettabile dell'equazione fratta.

Esempio 2

Considero l'equazione

$$ \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{1-x} $$

Determino la condizione di esistenza C.E. delle frazioni algebriche

In questo caso, le frazioni hanno significato solo se x≠1 è diverso da uno.

$$ C.E. \ : \ x \ne 1 $$

Trasformo entrambi i membri dell'equazione allo stesso denominatore comune.

Applico la proprietà invariantiva delle frazioni e moltiplico per -1 sia il numeratore che il denominatore della seconda frazione

$$ \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{1-x} \cdot \frac{-1}{-1} $$

$$ \frac{x}{x-1} = \frac{-1 \cdot (-1)}{(1-x) \cdot (-1)} $$

$$ \frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1} $$

Ora entrambi i membri dell'equazione hanno lo stesso denominatore.

Quindi, posso moltiplicare entrambi i membri per il denominatore comune e semplificare.

$$ \frac{x}{x-1} \cdot (x-1) = \frac{1}{x-1} \cdot (x-1) $$

$$ \require{cancel} \frac{x}{\cancel{x-1}} \cdot \cancel{x-1} = \frac{1}{\cancel{x-1}} \cdot (\cancel{x-1}) $$

In questo modo ottengo un'equazione intera con una soluzione evidente.

$$ x = 1 $$

Tuttavia, la soluzione non è accettabile perché x=1 non soddisfa la condizione iniziale C.E: x≠ 1 delle frazioni algebriche.

Quindi, l'equazione fratta non ha soluzioni ossia è impossibile.

E così via.