Combinazione lineare di due equazioni

Una combinazione lineare di due o più equazioni $$ ax + by + c = 0 $$$$ a'x + b'y + c' = 0 $$ consiste nel formare una nuova equazione sommando o sottraendo le equazioni date, eventualmente moltiplicate per dei coefficienti costanti (α,β,...). $$ \alpha(ax + by + c) + \beta(a'x + b'y + c') = 0 $$

Questa tecnica è molto utile perché è usata per risolvere sistemi di equazioni lineari tramite il metodo di eliminazione (metodo di riduzione).

Un esempio pratico

Ad esempio, se ho due equazioni lineari:

$$ 3x + 4y -5 = 0 $$

$$ 2x - 3y +2 = 0 $$

In questo caso sono due rette incidenti che hanno un punto in comune.

due equazioni di esempio

Decido due parametri scalari α e β costanti a mio piacere che utilizzo come coefficienti per scrivere la combinazione lineare.

In generale i coefficienti α e β possono essere numeri qualsiasi, intero o meno, positivi o negativi.

Ad esempio, scelgo α=2 e β=3

$$ \alpha = 2 $$

$$ \beta = 3 $$

Una combinazione lineare di queste due equazioni può essere espressa come

$$ \alpha(ax + by + c) + \beta(a'x + b'y + c' f) = 0 $$

$$ 2 \cdot (3x + 4y -5) + 3 \cdot(2x -3y + 2) = 0 $$

Espandendo questa espressione svolgendo i calcoli e ottengo:

$$ 6x + 8y -10 + 6x -9y + 6 = 0 $$

Questa è una nuova equazione lineare posso semplificarla ulteriormente combinando i termini simili.

$$ (6x+ 6x) + (8y-9y) -10 + 6 = 0 $$

$$ 12x -y -4 = 0 $$

Il risultato finale è un'altra equazione lineare.

l'equazione lineare ottenuta dalla combinazione lineare

Nota. L'equazione lineare ottenuta dalla combinazione lineare (di colore rosso) interseca lo stesso punto che le due rette incidenti (di colore blu e nero) hanno in comune.

Le proprietà della combinazione lineare delle equazioni

Le combinazioni lineari delle equazioni hanno diverse proprietà importanti, specialmente nel contesto di sistemi di equazioni lineari.

Ecco alcune delle principali proprietà:

  • Chiusura
    La somma o la combinazione lineare di due equazioni lineari è ancora in un'equazione lineare. Questo significa che lo spazio delle equazioni lineari è chiuso sotto l'operazione di somma e moltiplicazione scalare.

    Esempio. Se ho due equazioni lineari ovvero equazioni di 1° grado $$ 3x + 4y -5 = 0 $$$$ 2x - 3y +2 = 0 $$ La loro combinazione lineare con i coefficienti α=2 e β=3 è un'altra equazione lineare $$ 2 \cdot (3x + 4y -5) + 3 \cdot(2x -3y + 2) = 0 $$ $$ 12x -y -4 = 0 $$

  • Commutatività
    L'ordine in cui si sommano le equazioni non cambia il risultato finale. Vale a dire, se \( E_1 \) e \( E_2 \) sono due equazioni lineari, allora: $$ \alpha E_1 + \beta E_2 = \beta E_2 + \alpha E_1 $$

    Esempio. Considero due equazioni lineari $$ 3x + 4y -5 = 0 $$$$ 2x - 3y +2 = 0 $$ La loro combinazione lineare con i coefficienti α=2 e β=3 è un'altra equazione lineare $$ 2 \cdot (3x + 4y -5) + 3 \cdot(2x -3y + 2) = 0 $$ $$ 12x -y -4 = 0 $$ Se cambio l'ordine dei termini dell'addizione il risultato non cambia. $$ 3 \cdot(2x -3y + 2) + 2 \cdot (3x + 4y -5) = 0 $$ $$ 12x -y -4 = 0 $$

  • Associatività
    La somma di equazioni lineari è associativa. Quindi, per tre equazioni lineari \( E_1, E_2, \) e \( E_3 \), si ha: $$ (\alpha E_1 + \beta E_2) + \gamma E_3 = \alpha E_1 + (\beta E_2 + \gamma E_3) $$
  • Elemento neutro (equazione zero)
    L'elemento neutro della somma è l'equazione zero, \( 0x + 0y = 0 \), che, aggiunta a qualsiasi equazione lineare, lascia quest'ultima invariata.

    Esempio. Considero l'equazione di 1° grado $$ 3x + 4y -5 = 0 $$ La somma di questa equazione con l'equazione zero è sempre la stessa equazione ovvero non produce alcun effetto. $$ (3x + 4y -5) + (0x+0y+0) = 0 $$ $$ 3x + 4y -5= 0 $$

  • Elemento opposto
    Per ogni equazione lineare \( ax + by = c \), esiste un'equazione opposta \( -ax - by = -c \) tale che la loro somma è l'elemento neutro (l'equazione zero).

    Esempio. Considero l'equazione $$ 3x + 4y -5 = 0 $$ L'equazione opposto è l'equazione moltiplicata per -1 ovvero un'equazione che ha gli stessi termini e gli stessi coefficienti in valore assoluto ma discordi (segno diverso). In questo caso l'equazione opposta è -(3x+4y-5)=0 ovvero -3x-4x+5=0. $$ (3x + 4y -5) + (-3x-4y+5) = 0 $$ $$ 0= 0 $$

  • Scalabilità
    Moltiplicando una qualsiasi equazione lineare per uno scalare non nullo, ottengo un'altra equazione che è equivalente all'originale. Ad esempio, moltiplicando entrambi i membri di \( ax + by = c \) per un scalare \( k \) (dove \( k \neq 0 \)), ottengo \( kax + kby = kc \), che ha le stesse soluzioni dell'equazione originale.

    Esempio. Considero l'equazione $$ 3x + 2y -6 = 0 $$ Moltiplico l'equazione per 2 $$ 2 \cdot (3x+2y-6)= 2 \cdot 0 $$ Il risultato finale è un'equazione equivalente ovvero che ha le stesse soluzioni (es. x=2 e y=0, oppure x=0 e y=3, ecc.). $$ 6x+4y-12=0 $$  Dal punto di vista geometrico questo vuol dire che le due equazioni occupano gli stessi punti sul piano, in altre parole sono due rette coincidenti.
    esempio di rette coincidenti

  • Indipendenza e dipendenza lineare
    Un insieme di equazioni è detto linearmente indipendente se nessuna delle equazioni nell'insieme può essere espressa come una combinazione lineare delle altre. Se invece è possibile, l'insieme è detto linearmente dipendente. Questo concetto è cruciale per determinare se un sistema di equazioni ha soluzioni uniche o meno.

    Esempio. Le equazioni lineari $ 3x + 2y - 6 = 0 $ e $ 6x + 4y - 12 = 0 $ sono linearmente dipendenti perché la seconda equazione può essere ottenuta moltiplicando la prima per 2, oppure la prima equazione può essere ottenuta dividendo la seconda per 2. Questo vuol dire che le due equazioni sono coincidenti e rappresentano la stessa retta nel piano. Pertanto, dire che due equazioni sono linearmente dipendenti significa che descrivono esattamente la stessa linea geometrica.
    esempio di rette coincidenti

Queste proprietà sono fondamentali per la manipolazione algebrica dei sistemi di equazioni e trovano applicazione in vari campi dell'algebra lineare, come la risoluzione di sistemi, la teoria dei vettori e degli spazi vettoriali.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine

  • Combinazione lineare di equazioni di grado superiore al primo
    Se combino equazioni di grado superiore al primo, anche di gradi diversi, il grado del polinomio risultante sarà pari al massimo dei gradi delle equazioni originali, a meno che non ci siano cancellazioni specifiche.

    Esempio. Combinando un polinomio di grado 2 con uno di grado 3, il risultato sarà generalmente di grado 3 ...ma non è detto. Potrebbe anche essere un'equazione di grado inferiore. Tutto dipende dalla scelta dei coefficienti della combinazione lineare. Ad esempio se considero queste equazioni di 2° grado $$ 3x^2+2x-1=0 $$ $$ 3x^2+x+2=0 $$ con i coefficienti α=1 e β=1 la loro combinazione lineare è ancora un'equazione di 2° grado $$ 1 \cdot (3x^2+2x-1) + 1 \cdot (3x^2+x+2)=0 $$ $$ 6x^2 +3x +1 =0 $$ Se invece scelgo come coefficienti α=1 e β=-1 la combinazione lineare è un'equazione di 1° grado perché i termini 3x2-3x2 si annullano reciprocamente $$ 1 \cdot (3x^2+2x-1) - 1 \cdot (3x^2+x+2)=0 $$ $$ x -3=0 $$

  • Se (x;y) è la soluzione di due equazioni lineari $ ax+by+c=0 $ e $ a'x+b'y+c'=0 $, allora è anche una soluzione di qualsiasi loro combinazione lineare. $$ \alpha \cdot (ax+by+c ) + \beta \cdot ( a'x+b'y+c') =0 $$

    Dimostrazione. Questo accade perché la soluzione (x;y) rende nulle entrambe le equazioni, quindi anche la loro combinazione lineare è nulla.$$ \alpha \cdot \underbrace{(ax+by+c )}_{=0} + \beta \cdot \underbrace{( a'x+b'y+c')}_{=0} =0 $$ $$ \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0 $$

E così via.

 

 


 

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