Sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni. Risolvere un sistema di equazioni vuol dire cercare i valori delle variabili incognite (soluzioni comuni) che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.
Ecco un esempio di sistema di equazioni composto da due equazioni e due variabili incognite
$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ \\ 6x - 3y = 3 \end{cases} $$
Le equazioni del sistema sono disposte una sotto l'altra entro una grande parentesi graffa a sinistra. Un sistema può avere due o più equazioni.
Ogni equazione può avere una, due o più incognite. Non occorre che ogni equazione del sistema abbia le stesse incognite.
Nota.Il sistema è detto in forma normale se ogni equazione è scritta nella forma ax+by=c dove a e b sono i coefficienti reali delle incognite e c è il termine noto. Ad esempio, in questo sistema $$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ \\ 6x - 3y = 3 \end{cases} $$ la prima equazione 2x+y=3 e la seconda equazione 6x-3y=3 sono in forma normale. Quindi, anche il sistema di equazioni è in forma normale.
Come risolvere un sistema di equazioni
Risolvere un sistema di equazioni vuol dire trovare dei valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni (soluzioni comuni).
Pertanto, l'insieme delle soluzioni del sistema di equazioni è l'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.
Un sistema di equazione è detto
- determinato
se il sistema ha una soluzione o un numero finito di soluzioni - impossibile
se il sistema non ha soluzioni comuni - indeterminato
se il sistema ha infinite soluzioni
Nota. Due o più sistemi di equazioni sono detti sistemi equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Esistono diversi metodi per risolvere un sistema di equazioni
La scelta del metodo è indifferente perché ogni metodo conduce alla stessa soluzione. Spesso è una scelta soggettiva.
Tuttavia, a seconda dei casi, il calcolo può essere più semplice usando un metodo piuttosto che un altro.
Un esempio pratico
Considero questo sistema di equazioni con due variabili incognite x e y
$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ \\ 6x - 3y = 3 \end{cases} $$
Per risolverlo uso il metodo della sostituzione.
Ricavo la y nella prima equazione del sistema.
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ 6x - 3y = 3 \end{cases} $$
Nella seconda equazione sostituisco l'incognita y con y=3-2x.
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ 6x - 3(3 - 2x) = 3 \end{cases} $$
Ora la seconda equazione ha una sola incognita.
Svolgo i calcoli algebrici nella seconda equazione per trovare il valore dell'incognita x.
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ 6x - 9 + 6x = 3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ 12x = 3 + 9 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ 12x = 12 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ x = \frac{12}{12} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = 3 - 2x \\ \\ x = 1 \end{cases} $$
Una volta trovato il valore dell'incognita x=1 nella seconda equazione, sostituisco x=1 nella prima equazione.
$$ \begin{cases} y = 3 - 2 \cdot 1 \\ \\ x = 1 \end{cases} $$
Così facendo ottengo anche il valore dell'incognita y.
$$ \begin{cases} y = 1 \\ \\ x = 1 \end{cases} $$
In questo caso il sistema di equazioni ha un'unica soluzione x=1 e y=1.
Quindi, il sistema è determinato.
Verifica. Per verificare se la soluzione del sistema è giusta mi basta sostituire i valori appena trovati alle incognite del sistema. Se tutte le equazioni sono soddisfatte, allora la soluzione è corretta. $$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ \\ 6x - 3y = 3 \end{cases} $$ La soluzione da verificare è x=1 e y=1. $$ \begin{cases} 2 \cdot (1) + (1) = 3 \\ \\ 6 \cdot (1) - 3 \cdot (1) = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2 + 1 = 3 \\ \\ 6 - 3 = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 = 3 \\ \\ 3 = 3 \end{cases} $$ Entrambe le equazioni sono soddisfatte con x=1 e y=1. Pertanto, la soluzione del sistema di equazioni è corretta.
Il grado del sistema di equazioni
Il grado di un sistema di equazioni è il prodotto dei gradi delle equazioni.
Il sistema di equazioni è detto sistema lineare se è composto da equazioni di primo grado.
Il sistema di equazioni di 2° grado è composto da almeno un'equazione di secondo grado e altre di primo grado.
Esempio 1
Questo sistema è composto da tre equazioni
$$ \begin{cases} 2x + y = 3 \\ \\ 4x + y =5 \\ \\ 6x^2 - 3y = 2 \end{cases} $$
La prima e la seconda equazione sono di 1° grado mentre la seconda equazione è di 2° grado.
Pertanto, il sistema di equazioni è di 2° grado perché
$$ 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2° $$
Esempio 2
Questo sistema è composto da tre equazioni
$$ \begin{cases} 7x + 2y = 1 \\ \\ 3x^2 + 4y =8 \\ \\ 2x^2 - 4y = -2 \end{cases} $$
La prima equazione è di 1° grado mentre la seconda e la terza equazione sono di 2° grado.
Pertanto, il sistema di equazioni è di 4° grado perché
$$ 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4° $$
Esempio 3
Questo sistema è composto da due equazioni
$$ \begin{cases} 2x^3 + y^2 = 3 \\ \\ 6x^2 - 3y = 2 \end{cases} $$
La prima equazione è di 3° grado mentre la seconda è di 2° grado.
$$ 2 \cdot 3 = 6° $$
Pertanto, il sistema di equazioni è di 6° grado.
E così via.
