Equazione omogenea
Cos'è un'equazione omogenea
Un'equazione è detta equazione omogenea se è composta da un polinomio omogeneo uguale a zero $$ P(x)=0 $$
Cos'è un polinomio omogeneo
Un polinomio omogeneo è un polinomio formato da monomi dello stesso grado.
Come si calcola il grado di un monomio? Il grado di un monomio si ottiene sommando gli esponenti delle lettere che formano un monomio. Ad esempio xy2 è un monomio di terzo grado perché l'esponente della x è 1 mentre l'esponente della y è 2. Quindi, la somma degli esponenti è 1+2=3.
A sua volta, un sistema di equazioni composto solo da equazioni omogenee è detto sistema di equazioni omogeneo.
Un esempio pratico
Esempio 1
Questa equazione è omogenea
$$ 2xy^2+4x^3-4y^3 = 0 $$
perché tutti i monomi sono di terzo grado
Esempio 2
Questa equazione è omogenea
$$ 2x^2+4xy+3y^2 = 0 $$
perché tutti i monomi sono di secondo grado
Esempio 3
Questa equazione NON è omogenea
$$ 3x+5xy+7y^2 = 0 $$
perché il monomio 3x è di primo grado mentre gli altri due monomi sono di secondo grado
Esempio 4
Questa equazione NON è omogenea
$$ 3x^2+5xy+7y^2 = 5 $$
perché pur essendo un polinomio omogeneo, tutti i monomi del polinomio P(x)=3x2+5xy+7y2 dello stesso grado, il polinomio omogeneo non è uguale a zero P(x)≠0.
E così via.
