Il metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione è uno dei metodi risolutivi dei sistemi di equazioni.

Come funziona

1. Ricavo una variabile da una equazione
2. Sostituisco la variabile nelle altre equazioni
3. Torno al punto 1

Il procedimento continua fino a giungere al risultato finale del sistema di equazioni: determinato, impossibile, indeterminato.

Nota. Il sistema di equazioni è determinato se ha un numero finito di soluzioni, impossibile se non ha soluzioni, indeterminato se ha infinite soluzioni.

Il metodo funziona nei sistemi composti da due o più equazioni con due o più variabili indipendenti.

Un esempio pratico

Devo risolvere questo sistema di equazioni

$$ \begin{cases} 2x+y=4 \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

Ricavo la variabile y nella prima equazione

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$

Sostituisco la variabile y=4-2x nella seconda equazione

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ 3x+2 \cdot (4-2x)=2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ 3x+8-4x=2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ -x=2-8 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ -x=-6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-2x \\ x=6 \end{cases} $$

Ora sostituisco x=6 nella prima equazione.

$$ \begin{cases} y=4-2 \cdot (6) \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=4-12 \\ x=6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=-8 \\ x=6 \end{cases} $$

Le equazioni del sistema sono tutte soddisfatte quando la coppia delle variabili indipendenti assumono i valori x=6 e y=-8.

Verifica. Sostituisco i valori x=6 e y=-8 nel sistema di equazioni. $$ \begin{cases} 2x+y=4 \\ 3x+2y=2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2 \cdot 6+(-8)=4 \\ 3 \cdot 6+2 \cdot (-8) =2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 12-8=4 \\ 18-16 =2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 4=4 \\ 2 =2 \end{cases} $$ Le due equazioni sono soddisfatte. Quindi le soluzioni sono corrette.

E così via.