Il grado di un'equazione
Il grado di un’equazione algebrica è il grado del polinomio $A(x)$ una volta che l’equazione è stata ridotta in forma normale $ A(x)=0 $. Dove $A(x)$ è un polinomio in $x$.
In altre parole, il grado dell’equazione è dato dall’esponente massimo con cui compare l’incognita $x$ nel polinomio.
Perché è importante conoscere il grado?
Il grado dell’equazione è fondamentale perché determina quante soluzioni può avere (al massimo tante quante il grado) e il metodo più adatto per risolverla.
Quindi, sapere di quale grado è un’equazione è il primo passo per scegliere il metodo più efficace per risolverla.
Un esempio pratico
Considero l’equazione:
$$ 2x^2 + 2x - 3 = 5x + 2 $$
Ogni equazione algebrica può essere riscritta in una forma in cui tutti i termini si trovano nello stesso membro.
Questo si ottiene applicando la regola del trasporto, che permette di spostare termini da un lato all’altro dell’equazione cambiandone il segno.
Applico la regola del trasporto spostando $5x + 2$ al primo membro:
$$ 2x^2 + 2x - 3 - 5x - 2 = 0 $$
Una volta sommati i termini simili e ordinati per potenze decrescenti di $x$, ottengo la forma normale (o forma canonica) dell’equazione.$$ A(x) = 0 $$
$$ 2x^2 - 3x - 5 = 0 $$
Ora l’equazione è scritta nella sua forma normale.
Il polinomio $ A(x)= 2x^2 - 3x - 5 $ è di grado due, perché l'esponente più alto della $ x $ è un quadrato.
Quindi, anche l'equazione $ 2x^2 - 3x - 5 = 0 $ è di grado due.
Esempio 2
Prendo l’equazione:
$$ 3x^4 - 7x^2 + x - 10 = 0 $$
Il polinomio $A(x)$ è $3x^4 - 7x^2 + x - 10$ e l'esponente massimo di $x$ è $4$.
Quindi, l’equazione è di quarto grado.
Esempio 3
Considero questa equazione
$$ x^2 + 2x - 3 = x^2 - 2 $$
Apparentemente potrebbe sembrare un'equazione di secondo grado ma è sbagliato, perché l'equazione non è ancora in forma normale.
Porto tutti i termini dell'equazione nel primo membro.
$$ x^2 + 2x - 3 - x^2 + 2 = 0 $$
Poi svolgo i calcoli
$$ 2x - 1 = 0 $$
Ora l'equazione è in forma normale e, come si può vedere, si tratta di un'equazione di primo grado.
Nota. Questo esempio è molto importante perché sottolinea che il grado di un'equazione può essere stabilito solo quando l'equazione è nella sua forma normale $ A(x)=0 $ e non prima.
Alcuni esempi di equazioni di grado diverso
Vediamo altri esempi per chiarire meglio il concetto:
- Equazione di primo grado
Questa equazione è di primo grado perché l’esponente più alto di $x$ è 1. $$ 5x - 8 = 0 $$ Un’equazione di primo grado si risolve semplicemente isolando $x$. $$ x = \frac{8}{5} $$ Sono le equazioni più facili da risolvere. Le equazioni di primo grado sono anche dette "lineari". - Equazione di secondo grado
Questa equazione è di secondo grado perché l’esponente più alto di $x$ è 2. $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ Un’equazione di secondo grado richiede l’uso della formula risolutiva $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $ o il completamento del quadrato. Per un approfondimento sulle equazioni di secondo grado. - Equazione di terzo grado
Questa equazione è di terzo grado $$ x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0 $$ Esistono tecniche apposite per risolvere questo tipo di equazione. Ad esempio, mettere in evidenza l'incognita e applicare la legge di annullamento del prodotto. $$ x \cdot ( x^2 - 2x + 1 - \frac{1}{x} ) = 0 $$ Per un approfondimento sulle equazioni di terzo grado.
E così via.
