Le equazioni irrazionali
Le equazioni irrazionali sono equazioni in cui l'incognita compare nei radicali. $$ \sqrt[n]{a(x)}=b(x) $$ Dove n è un numero intero maggiore o uguale a due n≥2
Come risolvere un'equazione irrazionale
Occorre analizzare l'indice n della radice
- Se n è dispari l'equazione irrazionale si risolve elevando alla potenza ennesima entrambi i membri. $$ [\sqrt[n]{a(x)}]^n=[b(x)]^2 $$
- Se n è pari l'equazione irrazionale si risolve tramite il sistema di disequazioni equivalente $$ \begin{cases} a(x) \ge 0 \\ b(x) \ge 0 \\ a(x) = [b(x)]^2 \end{cases}$$
- Metodo alternativo se n è pari. Se l'indice è pari elevo entrambi i membri alla n $$ [\sqrt[n]{a(x)}]^n=[b(x)]^2 $$ Poi trovo tutte le soluzioni $$ a(x)=b(x) \ ∨ \ a(x) = - b(x) $$ e seleziono quelle valide tramite il controllo delle soluzioni che può avvenire in due modi:
- controllo delle soluzioni per verifica
Sostituisco le soluzioni nell'equazione iniziale e verifico se entrambi i membri danno lo stesso risultato. - controllo delle soluzioni mediante condizioni
Impongo le condizioni per rendere lecite le operazioni di calcolo dell'equazione n√a(x)=b(x). Ad esempio, il radicando a(x)≥0 deve essere positivo e l'altro membro deve avere lo stesso segno b(x)≥0
- controllo delle soluzioni per verifica
Un esempio pratico
Ecco un esempio di equazione irrazionale
$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$
Il radicale ha indice pari n=2
Pertanto, per trovare la soluzione devo risolvere il sistema di disequazioni associato
$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ 2-x \ge 0 \\ \\ x^2-3x+2=(2-x)^2 \end{cases} $$
Svolgo i calcoli algebrici e semplifico
$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ -x \ge -2 \\ \\ x^2-3x+2=4-4x+x^2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ x \le 2 \\ \\ x=2 \end{cases} $$
La disequazione x2-3x+2≥0 è soddisfatta nell'intervallo (-∞,1]U[2,+∞) ossia per x≤1 o x≥2
$$ \begin{cases} x \le 1 \ ∨ \ x \ge 2 \\ \\ x \le 2 \\ \\ x=2 \end{cases} $$
Nota. La disequazione x2-3x+2≥0 è associata all'equazione x2-3x+2=0. Quest'ultima è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto e due radici $$ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{9-8} }{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1} }{2} = \begin{cases} x_1 = \frac{3-1}{2} = 1 \\ \\ x_2 = \frac{3+1}{2} = 2 \end{cases} $$
L'insieme delle soluzioni del sistema è composto da un unico valore
$$ S = \{ \ 2 \ \} $$
Quindi, x=2 è una soluzione accettabile del sistema ed è anche la soluzione dell'equazione irrazionale iniziale.
Metodo di risoluzione alternativo
Essendo un'equazione irrazionale con indice pari posso seguire anche il metodo alternativo di risoluzione.
$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$
Elevo entrambi i membri dell'equazione per 2
$$ [ \sqrt{x^2-3x+2}]^2=(2-x)^2 $$
$$ x^2-3x+2=(2-x)^2 $$
$$ x^2-3x+2=4-4x+x^2 $$
In questo modo mi sbarazzo del radicale.
Poi trovo tutte le soluzioni
$$ a(x)=b(x) \ ∨ \ a(x) = - b(x) $$
Sapendo che a(x)=x2-3x+2 e b(x)=4-4x+x2
- a(x)=b(x)
$$ x^2-3x+2 = 4-4x+x^2 $$ $$ x^2-x^2-3x+4x = 4-2 $$ $$ x = 2 $$Nota. Una soluzione possibile del problema è x=2
- a(x)=-b(x)
$$ x^2-3x+2 = - (4-4x+x^2) $$ $$ x^2-3x+2 = - 4+4x-x^2 $$ $$ x^2+x^2-3x-4x +4+2 = 0 $$ $$ 2x^2-7x + 6 = 0 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ x= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4(2)(6)}}{2(2)} $$ $$ x= \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{4} $$ $$ x= \frac{7 \pm \sqrt{1}}{4} $$ $$ x = \begin{cases} \frac{7-1}{4} = \frac{3}{2} \\ \\ \frac{7+1}{4} = 2 \end{cases} $$Nota. Altre due soluzioni possibili del problema sono x=2 e x=3/2 di cui una già la conosco (x=2).
Ricapitolando, le possibili soluzioni del problema sono
$$ S = \{ \ 2 \ , \ \frac{2}{3} \ \} $$
Ora devo capire quali soluzioni sono accettabili e quali no.
Per capirlo posso usare due metodi alternativi: il controllo per verifica e il controllo per condizioni.
A] Controllo per verifica
Sostituisco ogni soluzione x={2,3/2}nell'equazione iniziale.
$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$
Se entrambi i membri dell'equazione restituiscono lo stesso risultato, la soluzione è valida. In caso contrario va scartata.
- Se x=2 l'equazione iniziale diventa $$ \sqrt{2^2-3 \cdot 2+2}=2-2 $$ $$ \sqrt{4-6+2}=0 $$ $$ \sqrt{0}=0 $$ $$ 0 = 0 $$ Entrambi i membri dell'equazione sono uguali. Quindi la soluzione x=2 è valida.
- Se x=3/2 l'equazione iniziale diventa $$ \sqrt{(\frac{3}{2})^2-3 \cdot \frac{3}{2}+2}=2-\frac{3}{2} $$ $$ \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2}=\frac{4-3}{2} $$ $$ \sqrt{\frac{9-18+8}{4}}=\frac{1}{2} $$ $$ \sqrt{\frac{-1}{4}}=\frac{1}{2} $$ I due membri dell'equazione non danno lo stesso risultato. Quindi la soluzione x=3/2 devo scartarla
In conclusione, solo la soluzione x=2 è valida
$$ S = \{ \ 2 \ \} $$
A] Controllo per condizione
Trovo le condizioni che rendono lecito il calcolo in entrambi i membri dell'equazione
$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$
Il radicando x2-3x+2 ≥ 0 deve essere un numero positivo e anche il secondo membro 2-x≥ 0 deve avere lo stesso segno.
$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ 2-x \ge 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ -x \ge -2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ x \le 2 \end{cases} $$
L'equazione associata x2-3x+2=0 è una parabola con la concavità rivolta verso il basso.
Le radici dell'equazione associata x2-3x+2=0 sono
$$ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(1)(2)} }{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8} }{2} = \frac{3 \pm 1 }{2} = \begin{cases} x=1 \\ \\ x= 2 \end{cases} $$
Quindi la disequazione x2-3x+2≥0 è soddisfatta quando x≤1 oppure x≥2
$$ \begin{cases} x \le 1 \ ∨ \ x \ge 2 \\ \\ x \le 2 \end{cases} $$
Ora verifico se le soluzioni S={2,3/2} sono accettabili oppure no.
- La soluzione x=2 soddisfa entrambe le condizioni. E' una soluzione accettabile.
- La soluzione x=3/2 non soddisfa le condizioni. Quindi devo scartarla.
In conclusione, solo la soluzione x=2 è valida
$$ S = \{ \ 2 \ \} $$
La dimostrazione
Considero una generica equazione irrazionale
$$ \sqrt[n]{a(x)}=b(x) $$
Per ipotesi l'indice della radice n è un numero intero maggiore o uguale a due
$$ n \ge 2 $$
Poi studio separatamente i due casi, quando n è dispari o pari.
A] L'indice n è dispari
Se l'indice della radice è dispari, la soluzione è molto semplice
E' infatti sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione alla potenza n-esima per liberare la variabile incognita dal radicale.
$$ [\sqrt[n]{a(x)}]^n=[b(x)]^n $$
$$ a(x)=b(x)^n $$
Esempio. In questa equazione l'incognita si trova in una radice cubica (n=3). $$ \sqrt[3]{x^3+x+1} = x $$ Per far uscire l'incognita dal radicale elevo entrambi i membri dell'equazione alla potenza n=3. $$ [ \sqrt[3]{x^3+x+1} ]^3 = [ x ]^3 $$ L'indice della radice è dispari, quindi la radice cubica ha un'unica soluzione. $$ x^3+x+1 = x^3 $$ $$ x = -1 $$
B] L'indice n è pari
Se l'indice della radice è pari, la soluzione è più complessa.
Una radice pari non può avere come radicando un numero negativo.
Nota. Se elevo un numero reale negativo qualsiasi per una potenza pari, ottengo un numero positivo. $$ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 $$ Quindi la radice quadrata di -9 non esiste nei numeri reali. $$ \sqrt[2]{-3} = \ \text{ind} $$ Per calcolarla bisognerebbe usare i numeri complessi ma questo è un altro discorso.
Quindi, la condizione di esistenza del radicale è a(x)≥0
$$ \begin{cases} \sqrt[n]{a(x)}=b(x) \\ \\ a(x) \ge 0 \end{cases} $$
Poiché b(x) è elevato per una potenza pari, anche b(x) deve essere un numero maggiore o uguale a zero.
Pertanto, devo aggiungere un'ulteriore condizione di esistenza b(x)≥ al sistema
$$ \begin{cases} \sqrt[n]{a(x)}=b(x) \\ \\ a(x) \ge 0 \\ \\ b(x) \ge 0 \end{cases} $$
In questo modo ottengo il sistema di equazioni equivalente all'equazione irrazionale.
E così via.