Le equazioni irrazionali

Le equazioni irrazionali sono equazioni in cui l'incognita compare nei radicali. $$ \sqrt[n]{a(x)}=b(x) $$ Dove n è un numero intero maggiore o uguale a due n≥2

Come risolvere un'equazione irrazionale

Occorre analizzare l'indice n della radice

Se n è dispari l'equazione irrazionale si risolve elevando alla potenza ennesima entrambi i membri. $$ [\sqrt[n]{a(x)}]^n=[b(x)]^2 $$
Se n è pari l'equazione irrazionale si risolve tramite il sistema di disequazioni equivalente $$ \begin{cases} a(x) \ge 0 \\ b(x) \ge 0 \\ a(x) = [b(x)]^2 \end{cases}$$
- controllo delle soluzioni per verifica
  Sostituisco le soluzioni nell'equazione iniziale e verifico se entrambi i membri danno lo stesso risultato.
- controllo delle soluzioni mediante condizioni
  Impongo le condizioni per rendere lecite le operazioni di calcolo dell'equazione ⁿ√a(x)=b(x). Ad esempio, il radicando a(x)≥0 deve essere positivo e l'altro membro deve avere lo stesso segno b(x)≥0

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Ecco un esempio di equazione irrazionale

$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$

Il radicale ha indice pari n=2

Pertanto, per trovare la soluzione devo risolvere il sistema di disequazioni associato

$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ 2-x \ge 0 \\ \\ x^2-3x+2=(2-x)^2 \end{cases} $$

Svolgo i calcoli algebrici e semplifico

$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ -x \ge -2 \\ \\ x^2-3x+2=4-4x+x^2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ x \le 2 \\ \\ x=2 \end{cases} $$

La disequazione x²-3x+2≥0 è soddisfatta nell'intervallo (-∞,1]U[2,+∞) ossia per x≤1 o x≥2

$$ \begin{cases} x \le 1 \ ∨ \ x \ge 2 \\ \\ x \le 2 \\ \\ x=2 \end{cases} $$

Nota. La disequazione x²-3x+2≥0 è associata all'equazione x²-3x+2=0. Quest'ultima è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto e due radici $$ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{9-8} }{2} = \frac{3 \pm \sqrt{1} }{2} = \begin{cases} x_1 = \frac{3-1}{2} = 1 \\ \\ x_2 = \frac{3+1}{2} = 2 \end{cases} $$

L'insieme delle soluzioni del sistema è composto da un unico valore

$$ S = \{ \ 2 \ \} $$

Quindi, x=2 è una soluzione accettabile del sistema ed è anche la soluzione dell'equazione irrazionale iniziale.

Metodo di risoluzione alternativo

Essendo un'equazione irrazionale con indice pari posso seguire anche il metodo alternativo di risoluzione.

$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$

Elevo entrambi i membri dell'equazione per 2

$$ [ \sqrt{x^2-3x+2}]^2=(2-x)^2 $$

$$ x^2-3x+2=(2-x)^2 $$

$$ x^2-3x+2=4-4x+x^2 $$

In questo modo mi sbarazzo del radicale.

Poi trovo tutte le soluzioni

$$ a(x)=b(x) \ ∨ \ a(x) = - b(x) $$

Sapendo che a(x)=x²-3x+2 e b(x)=4-4x+x²

a(x)=b(x)
$$ x^2-3x+2 = 4-4x+x^2 $$ $$ x^2-x^2-3x+4x = 4-2 $$ $$ x = 2 $$
Nota. Una soluzione possibile del problema è x=2
a(x)=-b(x)
$$ x^2-3x+2 = - (4-4x+x^2) $$ $$ x^2-3x+2 = - 4+4x-x^2 $$ $$ x^2+x^2-3x-4x +4+2 = 0 $$ $$ 2x^2-7x + 6 = 0 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ x= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4(2)(6)}}{2(2)} $$ $$ x= \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{4} $$ $$ x= \frac{7 \pm \sqrt{1}}{4} $$ $$ x = \begin{cases} \frac{7-1}{4} = \frac{3}{2} \\ \\ \frac{7+1}{4} = 2 \end{cases} $$
Nota. Altre due soluzioni possibili del problema sono x=2 e x=3/2 di cui una già la conosco (x=2).

Ricapitolando, le possibili soluzioni del problema sono

$$ S = \{ \ 2 \ , \ \frac{2}{3} \ \} $$

Ora devo capire quali soluzioni sono accettabili e quali no.

Per capirlo posso usare due metodi alternativi: il controllo per verifica e il controllo per condizioni.

A] Controllo per verifica

Sostituisco ogni soluzione x={2,3/2}nell'equazione iniziale.

$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$

Se entrambi i membri dell'equazione restituiscono lo stesso risultato, la soluzione è valida. In caso contrario va scartata.

Se x=2 l'equazione iniziale diventa $$ \sqrt{2^2-3 \cdot 2+2}=2-2 $$ $$ \sqrt{4-6+2}=0 $$ $$ \sqrt{0}=0 $$ $$ 0 = 0 $$ Entrambi i membri dell'equazione sono uguali. Quindi la soluzione x=2 è valida.
Se x=3/2 l'equazione iniziale diventa $$ \sqrt{(\frac{3}{2})^2-3 \cdot \frac{3}{2}+2}=2-\frac{3}{2} $$ $$ \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2}=\frac{4-3}{2} $$ $$ \sqrt{\frac{9-18+8}{4}}=\frac{1}{2} $$ $$ \sqrt{\frac{-1}{4}}=\frac{1}{2} $$ I due membri dell'equazione non danno lo stesso risultato. Quindi la soluzione x=3/2 devo scartarla

In conclusione, solo la soluzione x=2 è valida

$$ S = \{ \ 2 \ \} $$

A] Controllo per condizione

Trovo le condizioni che rendono lecito il calcolo in entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{x^2-3x+2}=2-x $$

Il radicando x²-3x+2 ≥ 0 deve essere un numero positivo e anche il secondo membro 2-x≥ 0 deve avere lo stesso segno.

$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ 2-x \ge 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ -x \ge -2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ \\ x \le 2 \end{cases} $$

L'equazione associata x²-3x+2=0 è una parabola con la concavità rivolta verso il basso.

Le radici dell'equazione associata x²-3x+2=0 sono

$$ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(1)(2)} }{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8} }{2} = \frac{3 \pm 1 }{2} = \begin{cases} x=1 \\ \\ x= 2 \end{cases} $$

Quindi la disequazione x²-3x+2≥0 è soddisfatta quando x≤1 oppure x≥2

$$ \begin{cases} x \le 1 \ ∨ \ x \ge 2 \\ \\ x \le 2 \end{cases} $$

Ora verifico se le soluzioni S={2,3/2} sono accettabili oppure no.

La soluzione x=2 soddisfa entrambe le condizioni. E' una soluzione accettabile.
La soluzione x=3/2 non soddisfa le condizioni. Quindi devo scartarla.

In conclusione, solo la soluzione x=2 è valida

$$ S = \{ \ 2 \ \} $$

La dimostrazione

Considero una generica equazione irrazionale

$$ \sqrt[n]{a(x)}=b(x) $$

Per ipotesi l'indice della radice n è un numero intero maggiore o uguale a due

$$ n \ge 2 $$

Poi studio separatamente i due casi, quando n è dispari o pari.

A] L'indice n è dispari

Se l'indice della radice è dispari, la soluzione è molto semplice

E' infatti sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione alla potenza n-esima per liberare la variabile incognita dal radicale.

$$ [\sqrt[n]{a(x)}]^n=[b(x)]^n $$

$$ a(x)=b(x)^n $$

Esempio. In questa equazione l'incognita si trova in una radice cubica (n=3). $$ \sqrt[3]{x^3+x+1} = x $$ Per far uscire l'incognita dal radicale elevo entrambi i membri dell'equazione alla potenza n=3. $$ [ \sqrt[3]{x^3+x+1} ]^3 = [ x ]^3 $$ L'indice della radice è dispari, quindi la radice cubica ha un'unica soluzione. $$ x^3+x+1 = x^3 $$ $$ x = -1 $$

B] L'indice n è pari

Se l'indice della radice è pari, la soluzione è più complessa.

Una radice pari non può avere come radicando un numero negativo.

Nota. Se elevo un numero reale negativo qualsiasi per una potenza pari, ottengo un numero positivo. $$ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 $$ Quindi la radice quadrata di -9 non esiste nei numeri reali. $$ \sqrt[2]{-3} = \ \text{ind} $$ Per calcolarla bisognerebbe usare i numeri complessi ma questo è un altro discorso.

Quindi, la condizione di esistenza del radicale è a(x)≥0

$$ \begin{cases} \sqrt[n]{a(x)}=b(x) \\ \\ a(x) \ge 0 \end{cases} $$

Poiché b(x) è elevato per una potenza pari, anche b(x) deve essere un numero maggiore o uguale a zero.

Pertanto, devo aggiungere un'ulteriore condizione di esistenza b(x)≥ al sistema

$$ \begin{cases} \sqrt[n]{a(x)}=b(x) \\ \\ a(x) \ge 0 \\ \\ b(x) \ge 0 \end{cases} $$

In questo modo ottengo il sistema di equazioni equivalente all'equazione irrazionale.

E così via.