Le leggi di monotonia
Le leggi di monotonia si applicano alle uguaglianze e alle disuguaglianze
Prima legge di monotonia
Un'equazione o una disequazione non cambia se addiziono uno stesso numero k in entrambi i membri. $$ a=b \Leftrightarrow a+k=b+k $$ $$ a<b \Leftrightarrow a+k<b+k $$ $$ a>b \Leftrightarrow a+k>b+k $$
Per qualsiasi k ottengo un'equazione o disequazione equivalente alla precedente.
Esempio. Questa uguaglianza è vera $$ 2 = 2 $$ Se addiziono a entrambi i membri il numero 3, l'uguaglianza resta vera $$ 2+3 = 2+3 $$ $$ 5 = 5 $$ Esempio. Questa diseguaglianza è vera $$ 2<3 $$ Se addiziono a entrambi i membri il numero 1, la diseguaglianza resta vera $$ 2+1 < 3+1 $$ $$ 3<4 $$
Poiché k può essere anche un numero negativo (k<0) la prima legge di monotonia vale anche per la sottrazione.
Esempio. Questa uguaglianza è vera $$ 5 = 5 $$ Se addiziono a entrambi i membri il numero -3, l'uguaglianza resta vera $$ 5+(-3) = 5+(-3) $$ $$ 5-3 = 5-3 $$ $$ 2 = 2 $$ Esempio. Questa disuguaglianza è vera $$ 8 > 5 $$ Se addiziono a entrambi i membri il numero -3, l'uguaglianza resta vera $$ 8+(-3) > 5+(-3) $$ $$ 8-3 > 5-3 $$ $$ 5 > 2 $$
Nel caso particolare in cui k=0 l'equazione/disequazione resta la stessa perché lo zero è l'elemento neutro dell'addizione.
Esempio. Questa uguaglianza è vera $$ 5 = 5 $$ Se addiziono a entrambi i membri il numero 0, l'uguaglianza resta la stessa $$ 5+0 = 5+0 $$ $$ 5 = 5 $$
Seconda legge di monotonia per le uguaglianze
Un'equazione non cambia se moltiplico per uno stesso numero k≠0 diverso da zero entrambi i membri dell'equazione. $$ a=b \Leftrightarrow a \cdot k=b \cdot k \ \ \ \ con \ k \ne 0 $$
Per qualsiasi k≠0 ottengo un'equazione equivalente alla precedente.
Esempio. Questa uguaglianza è vera $$ 2 = 2 $$ Se moltiplico entrambi i membri per 3, l'uguaglianza resta vera $$ 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 $$ $$ 6 = 6 $$
Poiché k può essere anche un numero reciproco (1/k), la seconda legge di monotonia si applica anche per la divisione.
$$ a=b \Leftrightarrow \frac{a}{k}=\frac{b}{k} \ \ \ \ con \ k \ne 0 $$
Esempio. Questa uguaglianza è vera $$ 8 = 8 $$ Se divido entrambi i membri per 2, l'uguaglianza resta vera $$ \frac{8}{2} = \frac{8}{2} $$ $$ 4 = 4 $$
Perché lo zero va escluso?
Nella seconda legge di monotonia lo zero va escluso perché, essendo lo zero l'elemento assorbente della moltiplicazione, rischia di rendere vera una relazione falsa.
Esempio. Questa relazione è palesemente una relazione falsa. $$ 2+1 = 10 $$Moltiplicando entrambi i membri per 0 diventa una relazione vera. $$ (2+1) \cdot 0 = 10 \cdot 0 $$ $$ 0 = 0 $$
Inoltre, nel caso della divisione causerebbe una divisione per zero ossia un'operazione impossibile.
Esempio. Questa relazione è una relazione vera. $$ 2+1=3 $$ Se divido entrambi i membri per zero incappo in una divisione per zero. $$ \frac{2+1}{0}=\frac{3}{0} $$
Seconda legge di monotonia per le diseguaglianze
- Se moltiplico entrambi i membri di una diseguaglianza per un numero k≠0, devo distinguere tra k positivo o negativo
- Se il numero k è positivo k>0 il verso della diseguaglianza resta lo stesso $$ a<b \Longleftrightarrow a \cdot k<b \cdot k $$ $$ a>b \Longleftrightarrow a \cdot k>b \cdot k $$
- Se il numero k è negativo k<0 devo cambiare il verso della diseguaglianza $$ a<b \Longleftrightarrow a \cdot k>b \cdot k $$ $$ a>b \Longleftrightarrow a \cdot k<b \cdot k $$
Per qualsiasi k≠0 ottengo un'equazione equivalente alla precedente.
Esempio. Questa diseguaglianza è vera $$ 3<5 $$ Se moltiplico entrambi i membri per 2, la diseguaglianza resta vera nello stesso verso $$ 3 \cdot 2 < 5 \cdot 2 $$ $$ 6<10 $$ Esempio. Questa diseguaglianza è vera $$ 3<5 $$ Se moltiplico entrambi i membri per -2, la diseguaglianza resta vera ma, essendo il moltiplicatore un numero negativo, devo cambiare il verso della diseguaglianza $$ 3 \cdot (-2) > 5 \cdot (-2) $$ $$ -6 > -10 $$
Le due leggi di monotonia valgono anche per la sottrazione e la divisione, ossia per le operazioni inverse dell'addizione e della moltiplicazione.
In questo caso, sono anche conosciute come inverse delle leggi di monotonia oppure leggi di cancellazione.
E così via.
