Il secondo principio di equivalenza delle equazioni

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni in algebra afferma che è possibile trasformare un'equazione in una forma equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero diverso da zero o per la stessa espressione.

Questo principio è molto utile per semplificare le equazioni complesse in una forma più semplice da risolvere.

Un esempio pratico

Considero l'equazione

$$ \frac{ 4x}{3} = 10 $$

Applico il secondo principio di equivalenza e moltiplico entrambi i membri dell'equazione per 3

$$ \frac{ 4x}{3} \cdot 3 = 10 \cdot 3 $$

$$ \require{cancel} \frac{ 4x}{ \cancel{3}} \cdot \cancel{3} = 30 $$

In questo modo ottengo un'equazione equivalente alla precedente. 

$$ 4x = 30 $$

Posso ulteriormente trasformare quest'ultima equazione dividendo entrambi i membri dell'equazione per 4

$$ \frac{4x}{4} = \frac{30}{4} $$

$$ \frac{\cancel{4}x}{ \cancel{4} } = \frac{30}{4} $$

$$ x = \frac{\cancel{30}_{15}}{\cancel{4}_2} $$

$$ x = \frac{15}{2} $$

Questi passaggi mi hanno permesso di semplificare l'equazione originale in una forma equivalente più semplice da risolvere.

Nota. In questo caso particolare la forma equivalente ridotta dell'equazione coincide con la soluzione dell'equazione stessa.

Il secondo principio di equivalenza nelle disequazioni

Un'equazione non cambia se divido entrambi i membri per uno stesso numero k≠0 diverso da zero. $$ a = b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} = \frac{b}{k} $$ Nel caso delle disequazioni devo distinguere se k è positivo o negativo.

• Se il numero k è positivo k>0 la relazione resta la stessa. $$ a < b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} < \frac{b}{k} \ \ con \ k>0 $$ $$ a > b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} > \frac{b}{k} \ \ con \ k>0 $$
• Se il numero k è negativo k<0 la relazione di disuguaglianza si inverte. $$ a < b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} > \frac{b}{k} \ \ con \ k<0 $$ $$ a > b \ \Longleftrightarrow \ \frac{a}{k} < \frac{b}{k} \ \ con \ k<0 $$

Esempio 1

Ho la disequazione $$ 2+4+6 < 6+10-2 $$ $$ 12<14 $$ Se divido entrambi i membri per due la relazione di disuguaglianza resta valida nello stesso verso perché il divisore è un numero positivo $$ \frac{2+4+6}{2} < \frac{6+10-2}{2} $$ $$ \frac{2}{2} + \frac{4}{2} + \frac{6}{2} < \frac{6}{2} + \frac{10}{2} - \frac{2}{2} $$ $$ 1+2+3 < 3+5-1 $$ $$ 6 < 7 $$

Esempio 2

Ho la disequazione $$ 4+4+6 > 6+10-4 $$ $$ 14 >12 $$ Se divido entrambi i membri per meno due (-2) la relazione di disuguaglianza resta valida nel verso opposto perché il divisore è un numero negativo $$ \frac{4+4+6}{-2} < \frac{6+10-4}{-2} $$ $$ \frac{4}{-2} + \frac{4}{-2} + \frac{6}{-2} < \frac{6}{-2} + \frac{10}{-2} - \frac{4}{-2} $$ $$ -2-2-3 < -3-5+2 $$ $$ -7 < -6 $$

E così via.