Postulato di Eudosso-Archimede

Date due grandezze omogenee, non congruenti o nulle, esiste un numero naturale n tale che la grandezza minore supera quella maggiore.

Se considero due grandezze omogenee (stessa unità di misura) non congruenti (con misura diversa) e diverse da zero, allora esiste un multiplo della grandezza minore che supera la grandezza maggiore.

In altre parole, il postulato stabilisce che è sempre possibile aggiungere un numero sufficiente di copie della grandezza minore per superare quella maggiore.

Nota. Questo postulato è stato formulato indipendentemente dai matematici greci Eudosso di Cnido e Archimede di Siracusa. E' conosciuto anche come il principio di Archimede o il principio di Eudosso.

Un esempio pratico

Considero due segmenti AB e CD.

Il segmento AB misura 2 cm, mentre il segmento CD misura 5 cm.

E' evidente che la grandezza minore sia il segmento AB.

In questo caso, il multiplo di AB per n=3 supera il segmento CD.

$$ 3 \cdot \overline{AB} > \overline{CD} $$

$$ 3 \cdot 2 \ cm > 5 \ cm $$

$$ 6 \ cm > 5 \ cm $$

In altri termini, mi basta aggiungere altre due copie al segmento AB per superare il segmento CD.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine sul postulato

• Spesso il principio di Eudosso-Archimede è interpretato come un precursore dell'idea di limite, essenziale per il calcolo integrale e differenziale.
• Il principio di Eudosso-Archimede si può collegare anche alla teoria della misura e nell'integrazione, in quanto è alla base del concetto di somme di Riemann, che a loro volta sono fondamentali per definire l'integrale di Riemann.

  Nota. È interessante notare come concetti matematici sviluppati migliaia di anni fa continuino ad essere centrali nella teoria matematica moderna.

E così via.