Come calcolare il volume del tetraedro con i vettori

Per misurare il volume di un tetraedro, si calcola 1/6 del valore assoluto del determinante della matrice composta da tre vettori del solido. $$ V = \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix} det \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{vmatrix} $$

Esempio

Un tetraedro è composto da quattro vertici..

$$ P_1 \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ P_2 \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\ P_3 \begin{pmatrix} 5 & 5 & 1 \end{pmatrix} \\ P_4 \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} $$

La rappresentazione dei punti nel diagramma cartesiano

Prendo come riferimento un punto qualsiasi, ad esempio p4, e calcolo tre vettori.

$$ P_1P_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 5-5 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$ P_2P_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 5-3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$ P_3P_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 5-5 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Questi vettori misurano l'altezza, la larghezza e la profondità del tetraedro.

Con i tre vettori compongo una matrice quadrata.

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$

Poi calcolo un sesto del valore assoluto del determinante della matrice.

$$ V = \frac{1}{6} \cdot |Δ| = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2 $$

Il volume del tetraedro è uguale a 2.

Nota. Il tetraedro è un sesto del volume del parallelepipedo costruito sugli stessi punti.

E così via.