La somma delle radici di un'equazione di secondo grado

La somma delle radici di un'equazione di secondo grado ax²+bx+c=0 con discriminante non negativo Δ≥0 è uguale al rapporto cambiato di segno tra il coefficiente (b) dell'incognita x e il coefficiente (a) dell'incognita x² $$ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$$

A cosa serve?

Se già conosco una radice dell'equazione di 2° posso ottenere anche l'altra senza risolvere l'equazione

$$ x_1 = - \frac{b}{a} - x_2 $$

$$ x_2 = - \frac{b}{a} - x_1 $$

Esempio. In un'equazione di 2° $$ 2x^2+3x+1= 0 $$ se conosco una radice x₁=-1 posso ottenere l'altra usando i coefficienti a=2 e b=3 dell'equazione $$ x_2 = - \frac{b}{a} - x_1 = - \frac{3}{2} - (-1) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{-3+2}{2} = - \frac{1}{2} $$ Pertanto, se una radice è banale, visibile a colpo d'occhio, posso evitare di risolvere l'equazione di 2° grado per ricavare anche l'altra radice.

Un esempio pratico

Considero l'equazione

$$ 2x^2+3x+1= 0 $$

Il discriminante dell'equazione è Δ=1 positivo. Quindi, l'equazione ha due soluzioni reali distinte.

Le radici dell'equazione sono

$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4(2)(1)}}{2 \cdot 2}$$

$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{4}$$

$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{4}$$

$$ x = \frac{-3 \pm 1}{4} $$

$$ x = \begin{cases} x_1 = \frac{-3-1}{4}=-1 \\ \\ \frac{-3+1}{4} = - \frac{1}{2}\end{cases} $$

Sommo le due radici tra loro

$$ x_1 + x_2 = -1 + ( - \frac{1}{2} ) $$

$$ x_1 + x_2 = -1 - \frac{1}{2} = \frac{-2-1}{2} = -\frac{3}{2} $$

Sapendo che i coefficienti dell'equazione sono a=2 e b=3 calcolo il rapporto b/a cambiato di segno

$$ - \frac{b}{a} = - \frac{3}{2} $$

Il risultato è lo stesso.

La dimostrazione

Considero una generica equazione di 2°

$$ ax^2+bx+c= 0 $$

Per ipotesi il discriminante Δ≥0 è non negativo. Pertanto l'equazione ha due soluzioni reali distinte o coincidenti

Nota. Se il discriminante fosse negativo il radicale non avrebbe alcuna soluzione nell'insieme dei numeri reali.

Calcolo le due radici dell'equazione

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Sommo le due soluzioni (radici) x₁+x₂ tra loro

$$ x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac} - b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

$$ x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} $$

In questo modo ho dimostrato che la somma delle radici è uguale al rapporto dei coefficienti b/a cambiato di segno.

$$ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} $$

E così via.