La formula risolutiva di un'equazione di secondo grado
La formula risolutiva di un'equazione di 2° grado ax2+bx+c=0 è la seguente $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
La formula trova le due soluzioni dell'equazione di secondo grado.
Un'equazione di 2° ha non più di due soluzioni.
Un esempio pratico
Ho l'equazione di secondo grado
$$ 2x^2 + 5x + 3 = 0 $$
I coefficienti dell'equazione sono a=2, b=5, c=3
Applico il metodo di calcolo risolutivo dell'equazione di 2° grado usando la formula
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
Sostituisco a=2, b=5, c=3
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4(2)(3)}}{2(2)} $$
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{4} $$
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{4} $$
$$ x = \frac{-5 \pm 1}{4} $$
Pertanto le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono x1=-3/2 e x2=-1
$$ x = \begin{cases} \frac{-5 - 1}{4}= \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \\ \\ \frac{-5 + 1}{4}=\frac{-4}{4} = -1 \end{cases} $$
Verifica. Nell'equazione sostituisco la x con il valore della prima soluzione x1=-3/2 $$ 2x^2 + 5x + 3 = 0 $$ $$ 2 \cdot ( - \frac{3}{2} )^2 + 5 \cdot ( - \frac{3}{2} ) + 3 = 0 $$ $$ 2 \cdot \frac{9}{4} - \frac{15}{2} + 3 = 0 $$ $$ \frac{9}{2} - \frac{15}{2} + 3 = 0 $$ $$ \frac{9-15}{2} + 3 = 0 $$ $$ \frac{-6}{2} + 3 = 0 $$ $$ -3 + 3 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Poi sostituisco la x con il valore della seconda soluzione x2=-1 $$ 2x^2 + 5x + 3 = 0 $$ $$ 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) + 3 = 0 $$ $$ 2 -5 + 3 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ In entrambi i casi l'identità è soddisfatta.
La dimostrazione
Considero una generica equazione di secondo grado
$$ ax^2 + bx+ c = 0 $$
Per la proprietà invariantiva addiziono -c in entrambi i membri dell'equazione
$$ ax^2 + bx+ c - c = 0 - c $$
$$ ax^2 + bx = - c $$
Divido entrambi i membri per a
$$ \frac{ax^2 + bx}{a} = \frac{ - c}{a} $$
$$ \frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} = \frac{ - c}{a} $$
$$ x^2 + \frac{bx}{a} = - \frac{c}{a} $$
Per la proprietà invariantiva delle frazioni moltiplico e divido per due il termine bx/a
$$ x^2 + \frac{bx}{a} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{c}{a} $$
$$ x^2 + \frac{2bx}{2a} = - \frac{c}{a} $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni addiziono a entrambi i membri (b/2a)2
$$ x^2 + \frac{2bx}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2 $$
$$ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2 $$
Il primo termine dell'equazione è un quadrato (k+h)2=k2+2kh+h2 dove k=x e h=b/2a
$$ ( x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2 $$
Svolgo i calcoli al secondo membro
$$ ( x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{(2a)^2} $$
$$ ( x + \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} $$
$$ ( x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{-c \cdot(4a) +b^2}{4a^2} $$
$$ ( x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} $$
Calcolo la radice quadrata di entrambi i membri dell'equazione
$$ \sqrt{ ( x + \frac{b}{2a})^2 } = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } $$
$$ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{\sqrt{ 4a^2}} $$
$$ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{2a} $$
Il radicando b2-4ac è detto discriminante
Essendo un radicale di indice pari, il radicando deve essere non negativo b2-4ac≥0
Esplicito la variabile incognita x
$$ x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{ b^2-4ac }}{2a} $$
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2-4ac } }{2a} $$
In questo modo ottengo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
La dimostrazione finisce qui.
E così via.
