Discriminante di un'equazione di secondo grado
Cos'è il discriminante
Il discriminante di un'equazione di 2° grado è un'espressione che mi permette di capire se l'equazione ha soluzioni reali oppure no. Si indica con la lettera greca maiuscola delta. $$ \Delta = b^2-4ac $$ Dove le lettere a,b,c indicano i coefficienti di un'equazione di 2° grado $$ ax^2 + bx + c = 0$$
A cosa serve
A seconda del segno del discriminante deduco che
- Δ>0
Se il discriminante è positivo Δ>0 l'equazione ha due soluzioni distinte. - Δ=0
Se il discriminante è nullo Δ=0 l'equazione ha una soluzione, ossia due soluzioni coincidenti. - Δ<0
Se il discriminante è negativo Δ<0 l'equazione non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali (R).
Nota. Si chiama discriminante perché discrimina, ossia "aiuta a distinguere" tra le varie equazioni prima ancora di trovare le eventuali soluzioni.
Un esempio pratico
Esempio 1
Considero l'equazione
$$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$
I coefficienti sono a=1, b=-3, c=-4
Il discriminante dell'equazione è
$$ \Delta = b^2-4ac = (-3)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$
Il discriminante è positivo.
Quindi, l'equazione ha due soluzioni reali distinte.
Nota. Non conosco ancora quali sono ma so che ci sono. Per trovarle mi basta applicare la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado.
Esempio 2
Considero l'equazione
$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$
I coefficienti sono a=1, b=-4, c=4
Il discriminante dell'equazione è
$$ \Delta = b^2-4ac = (-4)^2 -4 \cdot 1 \cdot (4) = 16 - 16 = 0 $$
Il discriminante è nullo.
Quindi, l'equazione ha una sola soluzione reale.
Nota. In realtà, anche in questo caso ci sono due soluzioni reali ma sono coincidenti (soluzione doppia). Per trovarla basta applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
Esempio 3
Considero l'equazione
$$ x^2 - 2x + 4 = 0 $$
I coefficienti sono a=1, b=-2, c=4
Il discriminante dell'equazione è
$$ \Delta = b^2-4ac = (-2)^2 -4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 $$
Il discriminante è negativo.
Quindi l'equazione non ha soluzioni reali.
Nota. Il fatto che un'equazione non abbia soluzioni reali non vuol dire che non ci siano soluzioni in altri insiemi numerici. Ad esempio, l'equazione può avere soluzioni nei numeri complessi. Ma questo è un altro discorso.
E così via
