Radicali

La radice n-esima è l'operazione inversa della potenza con esponente n.

L'estrazione della radice n-esima di un numero reale a consiste nel determinare un numero reale b tale che la sua potenza n-esima bn sia uguale ad a con n>0.
\sqrt[n]{a} = b \Longleftrightarrow b^n = a
Il termine a è un numero reale detto radicando mentre n è detto indice della radice. La scrittura n√a è invece detta radicale.
cos'è un radicale

L'indice della radice è un numero naturale diverso da zero n ∈ N-{0}

  • Se l'indice della radice è n=2 la radice è detta radice quadrata. Sono anche detti radicali quadratici. $$ \sqrt[2]{a}=b \Longleftrightarrow b^2 = a $$

    Nel caso delle radici quadrate l'indice della radice si omette $$ \sqrt{a}=b \Longleftrightarrow b^2 = a $$

  • Se l'indice della radice è n=3 la radice è detta radice cubica. Sono anche detti radicali cubici. $$ \sqrt[3]{a}=b \Longleftrightarrow b^3 = a $$

Dall'indice n=4 in poi la radice è semplicemente detta radice quarta (n=4), radice quinta (n=5), radice sesta(n=6) e via dicendo.

La radice di un numero reale

Se considero un numero reale a∈R qualsiasi e un numero naturale n≠0 diverso da zero

  • Se l'indice della radice (n) è dispari ogni numero reale a∈R ha una sola radice n-esima con lo stesso segno algebrico del radicando.
    \sqrt[n]{a}=b \Longleftrightarrow b^n = a

    Esempio. La radice cubica di 8 è uguale a 2 perché due elevato alla terza è uguale a otto. $$ \sqrt[3]{8} = 2 \Longleftrightarrow \ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

  • Se l'indice della radice (n) è pari bisogna distinguere tra tre casi
    • a>0
      se il radicando è positivo (a>0) esistono due radici con segno algebrico opposto
      \sqrt[n]{a} = b \begin{cases} b^n = a \\ \\ (-b)^n = a \end{cases}

      Esempio. La radice quadrata di 9 è uguale a +3 e -3. $$ \sqrt{9} = \begin{cases} +3 \ \Longleftrightarrow \ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \\ \\ -3 \ \Longleftrightarrow \ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \end{cases} $$

    • a=0
      se il radicando è nullo (a=0) esiste una sola radice n-esima di zero ed è sempre uguale a zero.
      \sqrt[n]{0}=0 \Longleftrightarrow 0^n = 0

      Nota. La radice n-esima di zero (a=0) esiste ed è sempre uguale a zero perché la potenza ennesima di zero è sempre zero. $$ 0^1 = 0 \\ 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 \\ 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \\ \vdots $$

    • a<0
      se il radicando è negativo (a<0) l'estrazione della radice con indice pari è invece impossibile perché nessun numero reale negativo moltiplicato per se stesso un numero pari di volte ha segno algebrico negativo.
      il caso del radicando negativo di una radice con indice pari

      Cosa fare se il radicando è negativo? E' un errore comune pensare che la radice n-esima di un numero reale sia sempre un'operazione impossibile se il radicando è negativo. In realtà non è così. L'estrazione della radice n-esima di un numero negativo è possibile quando l'indice della radice è dispari. Ad esempio $$ \sqrt[3]{-8}=-2 \Longleftrightarrow (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$ E' impossibile soltanto se solo l'indice della radice è dispari $$ \sqrt[2]{-8} = \ \text{impossibile} $$

Pertanto, nei radicali è necessario aggiungere una condizione di esistenza C.E. che cambia a seconda dell'indice della radice.

Esempio

Considero il radicale

$$ \sqrt{x-3} $$

E' una radice quadrata. Quindi, l'indice della radice (2) è pari.

In questo caso il radicando (x-3) non può essere negativo. Pertanto devo aggiungere la condizione di esistenza C.E.

$$ \sqrt{x-3} \ \ \ \ \ C.E. \ \ \forall \ x \ge 3 $$

Spiegazione. Il radicando (x-3) non può essere negativo. Scrivo la disequazione $$ x-3 \ge 0 $$ Esplicito l'incognita x sommando 3 in entrambi i membri della disequazione grazie alla proprietà invariantiva $$ x-3+3 \ge 0 +3 $$ $$ x \ge 3 $$ Il risultato finale è la condizione di esistenza C.E. del radicale.

Esempio 2

Ora considero il radicale

$$ \sqrt[3]{x-3} $$

E' una radice cubica. Quindi, l'indice della radice (3) è dispari.

In questo caso il radicando (x-3) può anche essere negativo. Pertanto, la condizione di esistenza ammette qualsiasi valore reale dell'incognita x.

$$ \sqrt{x-3} \ \ \ \ \ C.E. \ \ \forall \ x \in R $$

Nota. Spesso si omette la condizione di esistenza nei radicali con indice dispari. Tuttavia, il mio consiglio è di aggiungere sempre la condizione di esistenza C.E. quando si lavora sui radicali. Anche quando non serve.

Le proprietà e le operazioni dei radicali

Le principali proprietà e operazioni dei radicali

  • La potenza m-esima di un radicale
    La potenza m-esima di un radicale è un radicale con lo stesso indice n e con il radicando elevato a m. $$ ( \sqrt[n]{a} )^m = \sqrt[n]{a^m} $$
  • La proprietà invariantiva dei radicali
    Il risultato del radicale non cambia se si moltiplica o si divide l'indice della radice e l'esponente del radicando per uno stesso numero positivo. $$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p }} = \sqrt[ \frac{n}{p} ]{a^{ \frac{n}{p} }} $$
  • Il prodotto dei radicali con lo stesso indice
    Il prodotto di due radicali con lo stesso indice (n) è un radicale che ha sempre lo stesso indice n e per radicando il prodotto dei radicandi $$ \sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{b^p} = \sqrt[n]{a^m \cdot b^p } $$

    Nota. Se i radicali non hanno lo stesso indice, per fare la moltiplicazione devo prima ridurli al minimo comune indice.

  • Il quoziente dei radicali con lo stesso indice
    Il quoziente di due radicali con lo stesso indice (n) è un radicale che ha sempre lo stesso indice n e per radicando il quoziente dei radicandi $$ \frac{ \sqrt[n]{a^m} }{ \sqrt[n]{b^p} } = \sqrt[n]{ \frac{a^m}{ b^p } } $$
  • La radice di un radicale
    La radice di un radicale è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando. $$ \sqrt[n]{ \sqrt[p]{a} } = \sqrt[n \cdot p]{a} $$

    Nota. Dalla formula risolutiva della radice di un radicale deriva anche la possibilità di scambiare gli indici di radice tra loro. $$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} $$

  • Trasporto del fattore fuori dalla radice
    Un fattore del radicando con esponente uguale o maggiore dell'indice della radice m ≥ n può essere portato fuori dalla radice se m=n·q+r. $$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{n \cdot q + r}} = \sqrt[n]{a^{n \cdot q} \cdot a^r} = \sqrt[n]{a^{n \cdot q}} \cdot \sqrt[n]{a^r} = a^q \cdot \sqrt[n]{a^r} $$

    Esempio. $$ \sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{ a^{3 \cdot 1 + 2} } = \sqrt[3]{ a^3 \cdot a^2 } = \sqrt[3]{ a^3} \cdot \sqrt[3]{ a^2 } = a \cdot \sqrt[3]{ a^2 } $$

  • Trasporto del fattore dentro la radice
    Un fattore esterno al radicale può essere portato dentro la radice elevandolo all'indice della radice. $$ b \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt{b^n \cdot a} $$

    Esempio. $$ a \cdot \sqrt[3]{ a^2 } = \sqrt[3]{a^3 \cdot a^2} $$

Radicali particolari

Alcuni radicali particolari a cui fare attenzione

$$ (\sqrt[n]{a})^n = a $$

$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$

$$ \sqrt[1]{a} = a^1 = a $$

$$ \sqrt[n]{0} = 0^n = 0 $$

$$ \sqrt[n]{1} = 1^n = 1 $$

$$ \sqrt[0]{a} = indefinito $$

$$ \sqrt[pari]{a<0} = indefinito $$

E così via

 


 

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I radicali