I sistemi lineari
Un sistema lineare è un sistema composto da due o più equazioni lineari.
Per risolvere il sistema lineare, bisogna trovare contemporaneamente le soluzioni di tutte le equazioni lineari del sistema.
Le caratteristiche di un sistema lineare
Un sistema lineare è composto da m equazioni e n incognite. Sia i coefficienti aij che i termini noti bij sono numeri reali.
Non c'è alcuna relazione tra il numero di righe m e il numero di equazioni n.
Il caso del sistema lineare quadrato. Se il numero delle righe e delle colonne è uguale, il sistema lineare è detto quadrato.
Gli indici del sistema
Gli indici ij seguono l'ordine riga, colonna.
- L'indice i indica l'equazione. Pertanto, l'indice i varia da 1 al numero di equazioni m.
- L'indice j indica la variabile incognita. Quindi,l'indice j varia da 1 al numero di incognite n dell'equazione.
Le soluzioni del sistema lineare
Una soluzione del sistema lineare è una n-pla ordinata di numeri reali ( s1, ... , sn ) che sostituiti ordinatamente alle n incognite x1 ... xn rende contemporaneamente vere tutte le equazioni del sistema.
Un sistema lineare può avere comunque più di una soluzione oppure non averne.
L'insieme S è l'insieme di tutte le soluzioni del sistema lineare.
L'insieme delle soluzioni
L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è detto:
- compatibile, se esiste almeno una soluzione.
- incompatibile o impossibile, se non esiste alcuna soluzioneL'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è determinato dall'intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole equazioni.
Un esempio di sistema lineare con una soluzione
Questo sistema lineare ha una sola soluzione perché le due rette si intersecano soltanto in un punto.
L'intersezione delle due rette sul piano è la soluzione del sistema.
Il punto dove si intersecano le due rette incidenti individua i valori delle due incognite (x1, x2) che risolvono il sistema lineare.
Un esempio di sistema lineare senza soluzione
Il seguente sistema, invece, non ha soluzione perché le due rette non si intersecano mai. Sono rette parallele.
In questo caso le rette sono parallele e l'insieme delle soluzioni è un insieme vuoto ( S=Ø ).
Un esempio di sistema lineare con infinite soluzioni
Nel seguente sistema lineare le due rette sono coincidenti.
E' il caso di un sistema lineare con infinite soluzioni.
L'insieme delle soluzioni del sistema lineare è infinito perché gli infiniti punti della prima retta coincidono con quelli della seconda.
