Equazioni goniometriche elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono equazioni in cui l'incognita x è l'argomento di almeno una funzione goniometrica.

Un semplice esempio di equazione goniometrica è

$$ \sin x = c $$

Dove c è un numero reale qualsiasi mentre x è l'incognita dell'equazione.

Come risolvere le equazioni goniometriche elementari

Per ogni tipologia di equazione goniometrica esiste una risoluzione

Equazione	Risoluzione
$$ \sin x = c $$	E' determinata solo se -1 ≤ c ≤ 1 altrimenti è impossibile da risolvere. Le soluzioni sono $$ x = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k $$ Vedi dimostrazione e spiegazione.
$$ \cos x = c $$	E' determinata solo se -1 ≤ c ≤ 1 altrimenti è impossibile da risolvere. Le soluzioni sono $$ x = \alpha + 2\pi k \vee -\alpha + 2\pi k $$ Vedi dimostrazione e spiegazione.
$$ \tan x = c $$	E' sempre determinata per ogni c di R. Le soluzioni sono $$ x = \alpha + k \pi $$ Vedi dimostrazione e spiegazione.
$$ \sin x = \sin y $$	Questa equazione è soddisfatta quando gli angoli sono uguali x=y o supplementari x+y=π, a meno di un numero intero k di angoli giro (2π). $$ x = y + 2k \pi \ ∨ \ x+y = \pi + 2k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \cos x = \cos y $$	Questa equazione è soddisfatta quando gli angoli sono uguali x=y oppure opposti x=-y, a meno di un numero intero k di angoli giro (2π). $$ x=y+2k \pi \ ∨ \ x = - y + 2k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \tan x = \tan y $$	Questa equazione è soddisfatta quando gli angoli sono congruenti x=y, a meno di un numero intero k di angoli piatti (π). $$ x=y+k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \cot x = \cot y $$	Questa equazione si risolve trasformando la cotangente in tangente tramite l'angolo associato π/2-x e π/2-y $$ \frac{\pi}{2}-x=\frac{\pi}{2}-y+k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \sin x = - \sin y $$	Si riconduce al caso sin x = sin (-y) perché il seno è una funzione dispari $$ x = y + 2k \pi \ ∨ \ x+y = \pi + 2k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \sin x = \cos y $$	Si riconduce al caso sin x = sin (π/2-y) riscrivendo il coseno come seno equivalente cos(y)=sin(π/2-y). $$ x = (π/2-y) + 2k \pi \ ∨ \ x+(π/2-y) = \pi + 2k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \sin x = - \cos y $$	Si riconduce al caso sin x = sin (y-π/2) riscrivendo il coseno come seno equivalente -cos(y)=-sin(π/2-y) ed essendo il seno una funzione dispari -sin(π/2-y)=sin(y-π/2). $$ x = (y-π/2) + 2k \pi \ ∨ \ x+(y-π/2) = \pi + 2k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \cos x = - \cos y $$	Si riconduce al caso cos x = cos (π-y) riscrivendo il coseno -cos(y)=cos(π-y) perché due angoli supplementari hanno il coseno opposto. $$ x=(π-y)+2k \pi \ ∨ \ x = - (π-y) + 2k \pi $$ Vedi esempio.
$$ \tan x = - \tan y $$	Si riconduce al caso tan x = tan (-y) perché la tangente è una funzione dispari -tan(y)=tan(-y) $$ x=(-y)+k \pi $$ Vedi esempio.

E così via.