Equazione goniometrica tan(a)=tan(b)
L'equazione goniometrica $$ \tan \alpha = \tan \alpha' $$ è soddisfatta se gli angoli sono congruenti α=α' a meno di un numero intero k di angoli piatti π radianti (180°). Le soluzioni dell'equazione sono $$ \alpha = \alpha' + k \pi $$
La tangente è una funzione periodica con periodo π rad.
Quindi, l'equazione goniometrica ha infinite soluzioni se considero i multipli interi k di un angolo piatto π.
Dove k è un numero intero qualsiasi nell'intervallo (-∞, ∞).
Un esempio pratico
Devo risolvere l'equazione goniometrica
$$ \tan \frac{1}{2}x = \tan 3 x $$
Gli angoli delle due funzioni tangente sono
$$ \alpha_1 = \frac{1}{2}x $$
$$ \alpha_2 = 3x $$
Applico la formula dell'equazione goniometrica tan x=tan y
$$ \alpha = \alpha' + k \pi $$
Sostituisco α e α'
$$ \frac{1}{2}x = 3x + k \pi $$
Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x
$$ \frac{1}{2}x - 3x = k \pi $$
$$ \frac{1-6}{2}x = k \pi $$
$$ -\frac{5}{2}x = k \pi $$
Moltiplico entrambi i membri per -1
$$ -\frac{5}{2}x \cdot (-1) = k \pi \cdot (-1) $$
$$ \frac{5}{2}x = - k \pi $$
Moltiplico entrambi i membri per 2/5
$$ \frac{5}{2}x \cdot \frac{2}{5}= - k \pi \cdot \frac{2}{5} $$
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot k \pi $$
Ora per trovare le soluzioni dell'equazione goniometrica mi basta variare la costante intera k.
Verifico per k=0
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot k \pi $$
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot 0 \pi $$
$$ x = 0 $$
Una soluzione dell'equazione goniometrica è la soluzione banale x=0
Verifico per k=1
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot k \pi $$
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot 1 \pi $$
$$ x = - \frac{2}{5} \pi $$
Un'altra soluzione dell'equazione goniometrica è x=-2/5π
Verifico per k=-1
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot k \pi $$
$$ x = - \frac{2}{5} \cdot (-1) \pi $$
$$ x = \frac{2}{5} \pi $$
Un'altra soluzione dell'equazione goniometrica è x=2/5π
Continuando a variare k=2,3,... trovo le infinite soluzioni dell'equazione goniometrica.
La dimostrazione
Considero due angoli α1 e α2 che generano lo stesso valore c della tangente
$$ \tan \alpha_1 = \tan \alpha_2 = c $$
Due angoli hanno lo stesso valore della tangente in due situazioni
- se gli angoli sono congruenti (α1=α2)
- se gli angoli sono congruenti (α1=α2+kπ) con un numero intero k di angoli giro (π)
Dove k è un numero intero qualsiasi essendo la tangente una funzione periodica con periodo π
Dal punto di vista grafico
La seconda condizione include anche la prima quando k=0
$$ \alpha_1 = \alpha_2 \Leftrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 + k \pi \ \ \ con \ \ k = 0 $$
Quindi, la condizione necessaria per avere lo stesso valore della tangente è soltanto una
$$ \alpha_1 = \alpha_2 + k \pi $$
E questo dimostra la formula per trovare le soluzioni di un'equazione goniometrica del tipo tan α1 = tan α2
$$ \alpha_1 = \alpha_2 + k \pi $$
E così via.
