Cosecante
Cos'è la cosecante
In trigonometria la cosecante è una funzione che associa a un angolo α il reciproco del seno. Si indica con il simbolo csc oppure cosec. $$ \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} $$
Dal punto di vista geometrico, la cosecante (OA) è l'intersezione tra la retta (r) tangente a un punto P sulla circonferenza goniometrica e l'asse verticale delle ordinate.
La cosecante è anche il segmento OC che esce dall'origine O, passa per il punto P e interseca la cotangente nel punto C.
La funzione cosecante è definita nell'insieme dei numeri reali R tranne nei punti kπ con k intero, dove il seno è nullo.
$$ \sec \alpha \ : \ R - k \cdot \pi \rightarrow R - (-1,1) \ \ \ \ \ \ \ \ k \in Z $$
Il codominio è l'insieme dei numeri reali R tranne l'intervallo (-1,1)
Dal punto di vista matematico la secante è una funzione dispari perché f(x) = -f(-x).
E' anche una funzione periodica e può essere studiata nell'intervallo ridotto (0,2π).
Nota. La funzione cosecante è indefinita nei punti kπ con k intero. In questi punti si presenta un asintoto verticale.
Ecco alcuni valori notevoli della secante che conviene tenere a mente.
| gradi | radianti | secante |
|---|---|---|
| 0° | 0 | indefinita |
| 30° | π/6 | 2 |
| 45° | π/4 | √2 |
| 60° | π/3 | (2√3)/3 |
| 90° | π/2 | 1 |
| 180° | π | indefinita |
| 270° | 3/2π | -1 |
| 360° | 2π | indefinita |
La dimostrazione
Il triangolo OPB è simile al triangolo OAP perché hanno gli stessi angoli.
Quindi, posso scrivere la seguente proprozione
$$ \overline{OP} \ : \overline{PB} = \overline{OA} \ : \overline{OP} $$
ossia
$$ \frac{ \overline{OP} } { \overline{PB} } = \frac{ \overline{OA} } { \overline{OP} } $$
Il segmento PB è il seno dell'angolo alfa
$$ \frac{ \overline{OP} } { \sin \alpha } = \frac{ \overline{OA} } { \overline{OP} } $$
Poiché il raggio della circonferenza goniometrica è uguale a uno, sostituisco OP=1
$$ \frac{ 1 } { \sin \alpha } = \frac{ \overline{OA} } { 1 } $$
$$ \frac{ 1 } { \sin \alpha } = \overline{OA} $$
Il segmento OA è la cosecante dell'angolo alfa
$$ \frac{ 1 } { \cos \alpha } = \csc \alpha $$
Ho così ottenuto la formula della secante come reciproco del coseno.
Dimostrazione alternativa. I triangoli ODC e OEP sono simili perché hanno gli angoli della stessa ampiezza.
Pertanto, c'è la stessa proporzione tra il cateto e l'ipotenusa. $$ \frac{ \overline{OE} } { \overline{OP} } = \frac{ \overline{OD} } { \overline{OC} } $$ Sapendo che OC è la cosecante. $$ \frac{ \overline{OE} } { \overline{OP} } = \frac{ \overline{OD} } { \csc \alpha } $$ Il segmento OE è il seno $$ \frac{ \sin \alpha } { \overline{OP} } = \frac{ \overline{OD} } { \csc \alpha } $$ I segmenti OP e OD sono entrambi raggi della circonferenza goniometrica, quindi OP=OD=1. $$ \frac{ \sin \alpha } { 1 } = \frac{ 1 } { \csc \alpha } $$ Metto in evidenza la cosecante e ottengo la formula che volevo dimostrare. $$ \csc \alpha = \frac{ 1 } { \sin \alpha } $$
Altre formule della secante
La cosecante dell'angolo α può essere calcolata anche a partire dalla tangente dell'angolo α. $$ \csc \alpha = \sqrt{1+ ctg^2 \alpha } $$
Dimostrazione
Il raggio, la cosecante e la cotangente formano un triangolo rettangolo, in cui la cosecante è l'ipotenusa.
Quindi, posso ottenere la cosecante tramite il teorema di Pitagora in funzione della cotangente
$$ \csc \alpha = \sqrt{1^2+ ctg^2 \alpha } $$
$$ \csc \alpha = \sqrt{1+ ctg^2 \alpha } $$
e ovviamente anche della tangente sapendo che la cotangente è il reciproco della tangente ctg α = 1/tan α
$$ \csc \alpha = \sqrt{1+ \frac{1}{\tan^2 \alpha} } $$
Può essere calcolata anche conoscendo il seno e il coseno poiché ctg α = cos α / sin α
$$ \csc \alpha = \sqrt{1+ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} } $$
Il grafico della cosecante
Quando l'angolo ha un ampiezza nulla α=0 la secante è indefinita, perché sin 0 = 0.
Quando l'angolo α si trova nel I quadrante il seno è positivo, quindi anche la cosecante è positiva e decrescente.
Quando l'angolo α=π/2 (90°) la cosecante è uguale a 1 perché sin π/2 = 1.
Quando l'angolo α si trova nel II quadrante il seno è ancora positivo, quindi anche la secante è positiva ma crescente.
Quando l'angolo α=π (180°) la cosecante è indefinita perché sin π = 0 e il rapporto sec π = 1/0 non è definito.
In questo caso la retta tangente al punto è parallela all'asse delle ordinate. Pertanto non esiste un punto di intersezione tra le due rette.
Quando l'angolo α si trova nel III quadrante il seno è negativo.
Quindi la secante è negativa e crescente.
Quando l'angolo α=3π/2 (270°) il seno è uguale a meno uno.
Quindi anche la cosecante è uguale a -1.
Quando l'angolo α si trova nel IV quadrante il seno è ancora negativo.
Quindi, anche la cosecante è negativa e decrescente.
In α=2π si torna alla stessa situazione di un angolo di ampiezza nulla α=0.
La secante è indefinita perché la funzione seno è uguale a zero, in quanto sin 2π = sin 0 = 0
Essendo una funzione periodica, da questo punto in poi tutto si ripete da capo.
E così via.
