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Equazione goniometrica cos (a) = cos (b)

L'equazione goniometrica cos(α)=cos(α) è soddisfatta se gli angoli sono congruenti α=α' o gli angoli sono opposti α=-α' α=α+2kπ  α=α+2kπ

Essendo il coseno una funzione periodica con periodo 2π l'equazione goniometrica ha infinite soluzione se considero anche i multipli interi k di un angolo giro 2π

Dove k è un numero intero qualsiasi nell'intervallo (-∞, ∞).

Un esempio pratico

Devo risolvere l'equazione goniometrica

cos(12x)=cos(32x)

Gli angoli delle due funzioni coseno sono

α1=12x

α2=32x

Applico la formula dell'equazione goniometrica cos x = cos y

α=α+2kπ  α=α+2kπ

Sostituisco α e α'

12x=32x+2kπ  12x=32x+2kπ

Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x

12x32x=2kπ  12x+32x=2kπ

x=2kπ  2x=2kπ

x=2kπ  x=122kπ

x=2kπ  x=kπ

In questo modo trovo tutte le soluzioni dell'equazione cos x = cos y

Per trovare le soluzioni mi basta variare la costante intera k.

Verifico per k =0

x=2kπ  x=kπ

x=2(0)π  x=(0)π

x=0  x=0

Una soluzione dell'equazione goniometrica è x=0

una soluzione dell'equazione goniometrica

Verifico per k =1

x=2kπ  x=kπ

x=2(1)π  x=(1)π

x=2π  x=π

Altre due soluzioni sono x=-2π e x=π.

le altre due soluzioni dell'equazione

Verifico per k =-1

x=2kπ  x=kπ

x=2(1)π  x=(1)π

x=2π  x=π

Altre due soluzioni sono x= e x=.

le altre soluzioni dell'equazione goniometrica

Variando k trovo le infinite soluzioni dell'equazione goniometrica.

La dimostrazione

Considero due angoli α1 e α2 che generano lo stesso valore del coseno

cosα1=cosα2=c

Due angoli hanno lo stesso valore del coseno in due casi

  • se gli angoli sono congruenti (α12)
  • se gli angoli sono opposti (α1=-α2)

Dal punto di vista grafico

il coseno di due angoli opposti è uguale

Quindi le condizioni necessarie per avere lo stesso valore del coseno sono

α1=α2

α1=α2

Il coseno è una funzione periodica con periodo uguale a 2π.

Quindi, devo includere tra le soluzioni anche i multipli interi k dell'angolo giro 2π.

α1=α2+2kπ

α1=α2+2kπ

Questo dimostra l'insieme delle soluzioni di un'equazione goniometrica del tipo cos α1 = cos α2

α1=α2+2kπ  α1=α2+2kπ

E così via.

 


 

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