Equazione goniometrica cos (a) = cos (b)
L'equazione goniometrica cos(α)=cos(α′) è soddisfatta se gli angoli sono congruenti α=α' o gli angoli sono opposti α=-α' α=α′+2kπ ∨ α=−α′+2kπ
Essendo il coseno una funzione periodica con periodo 2π l'equazione goniometrica ha infinite soluzione se considero anche i multipli interi k di un angolo giro 2π
Dove k è un numero intero qualsiasi nell'intervallo (-∞, ∞).
Un esempio pratico
Devo risolvere l'equazione goniometrica
cos(12x)=cos(32x)
Gli angoli delle due funzioni coseno sono
α1=12x
α2=32x
Applico la formula dell'equazione goniometrica cos x = cos y
α=α′+2kπ ∨ α=−α′+2kπ
Sostituisco α e α'
12x=32x+2kπ ∨ 12x=−32x+2kπ
Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x
12x−32x=2kπ ∨ 12x+32x=2kπ
−x=2kπ ∨ 2x=2kπ
x=−2kπ ∨ x=12⋅2kπ
x=−2kπ ∨ x=kπ
In questo modo trovo tutte le soluzioni dell'equazione cos x = cos y
Per trovare le soluzioni mi basta variare la costante intera k.
Verifico per k =0
x=−2kπ ∨ x=kπ
x=−2(0)π ∨ x=(0)π
x=0 ∨ x=0
Una soluzione dell'equazione goniometrica è x=0
Verifico per k =1
x=−2kπ ∨ x=kπ
x=−2(1)π ∨ x=(1)π
x=−2π ∨ x=π
Altre due soluzioni sono x=-2π e x=π.
Verifico per k =-1
x=−2kπ ∨ x=kπ
x=−2(−1)π ∨ x=(−1)π
x=2π ∨ x=−π
Altre due soluzioni sono x=2π e x=-π.
Variando k trovo le infinite soluzioni dell'equazione goniometrica.
La dimostrazione
Considero due angoli α1 e α2 che generano lo stesso valore del coseno
cosα1=cosα2=c
Due angoli hanno lo stesso valore del coseno in due casi
- se gli angoli sono congruenti (α1=α2)
- se gli angoli sono opposti (α1=-α2)
Dal punto di vista grafico
Quindi le condizioni necessarie per avere lo stesso valore del coseno sono
α1=α2
α1=−α2
Il coseno è una funzione periodica con periodo uguale a 2π.
Quindi, devo includere tra le soluzioni anche i multipli interi k dell'angolo giro 2π.
α1=α2+2kπ
α1=−α2+2kπ
Questo dimostra l'insieme delle soluzioni di un'equazione goniometrica del tipo cos α1 = cos α2
α1=α2+2kπ ∨ α1=−α2+2kπ
E così via.