Formule di prostaferesi
Le formule di prostaferesi mi permettono di trasformare la somma o la differenza di due funzioni goniometriche in un prodotto di funzioni goniometriche.
Le formule di prostaferesi del seno $$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2} $$ $$ \sin a - \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a-b}{2} \cdot \cos \frac{a+b}{2} $$ Le formule di prostaferesi del coseno $$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2}$$ $$ \cos a - \cos b = -2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cdot \sin \frac{a-b}{2}$$
Un esempio pratico
Prendo come esempio la somma del seno di 60°(p/3) con il seno di 30°(p/6).
$$ \sin 60° + \sin 30° $$
Sapendo che il seno di 60° è √3/2 e il seno di 30° è 1/2 il risultato corretto è
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$
Ora verifico se lo stesso risultato lo ottengo anche tramite le formule di prostaferesi.
Applico la formula di prostaferesi dell'addizione del seno assegnando agli angoli le variabili a=60° e b=30°
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cdot \cos \frac{a-b}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \sin \frac{60°+30°}{2} \cdot \cos \frac{60-30°}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \sin \frac{90°}{2} \cdot \cos \frac{30°}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \sin 45° \cdot \cos 15° $$
Il seno di 45° è pari a radice di due su due
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 15° $$
Il coseno di 15° è la somma delle radici di 6 e di 2 diviso quattro.
$$ \sin 60° + \sin 30° = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}+ \sqrt{2} \cdot\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{ \sqrt{2 \cdot 6}+ 2}{4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{ \sqrt{12}+ 2}{4} $$
Divido numeratore e denominatore per due usando la proprietà invariantiva delle frazioni e semplifico.
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{ \frac{1}{2} \cdot ( \sqrt{12}+ 2)}{\frac{1}{2} \cdot 4} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{12}+ \frac{1}{2} \cdot 2}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{ \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12}+ 1}{2} $$
$$ \sin 60° + \sin 30° = \frac{ \sqrt{3}+ 1}{2} $$
Il risultato finale è lo stesso.
La dimostrazione
La formula di prostaferesi dell'addizione del seno
Per dimostrare la formula di prostaferesi dell'addizione del seno utilizzo le formule di addizione e sottrazione del seno
$$ \begin{cases} \sin (\alpha+b) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sommo le due formule membro a membro
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$
Poi semplifico
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \cos \beta $$
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
Assegno alla variabile a=α+β la somma degli angoli
$$ \sin a + \sin (\alpha-\beta) = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
e alla variabile b=α-β la differenza degli angoli
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
L'angolo alfa posso riscriverlo come (a+b)/2
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cos \beta $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ a = \alpha + \beta $$ $$ a = \alpha + (\alpha - b) $$ $$ a = \alpha + \alpha - b $$ $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
L'angolo beta posso riscriverlo come (a-b)/2
$$ \sin a + \sin b = 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ \beta = a - \alpha $$ $$ \beta = a - (\beta + b) $$ $$ \beta = a - \beta - b $$ $$ \beta + \beta = a - b $$ $$ 2 \beta = a - b $$ $$ \beta = \frac{ a - b }{2} $$
In questo modo ho dimostrato la formula di prostaferesi dell'addizione del seno.
La formula di prostaferesi della differenza del seno
Per dimostrare la formula di prostaferesi della differenza del seno uso le formule di addizione e sottrazione del seno
$$ \begin{cases} \sin (\alpha+b) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sottraggo le due formule membro a membro
$$ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - ( \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta ) $$
Poi semplifico
$$ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$
$$ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) = \cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \sin \beta $$
$$ \sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta $$
Assegno alla variabile a=α+β la somma degli angoli
$$ \sin a - \sin (\alpha-\beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta $$
e alla variabile b=α-β la differenza degli angoli
$$ \sin a - \sin b = 2 \cos \alpha \sin \beta $$
L'angolo alfa posso riscriverlo come (a+b)/2
$$ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \beta $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ a = \alpha + \beta $$ $$ a = \alpha + (\alpha - b) $$ $$ a = \alpha + \alpha - b $$ $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
L'angolo beta posso riscriverlo come (a-b)/2
$$ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ \beta = a - \alpha $$ $$ \beta = a - (\beta + b) $$ $$ \beta = a - \beta - b $$ $$ \beta + \beta = a - b $$ $$ 2 \beta = a - b $$ $$ \beta = \frac{ a - b }{2} $$
In questo modo ho dimostrato la formula di prostaferesi della differenza del seno.
La formula di prostaferesi dell'addizione del coseno
Per dimostrare la formula di prostaferesi dell'addizione del coseno utilizzo le formule di addizione e sottrazione del coseno
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sommo le due formule membro a membro
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$
Poi semplifico
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \cos \alpha \cos \beta $$
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
Assegno alla variabile a=α+β la somma degli angoli
$$ \cos a + \cos (\alpha-\beta) = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
e alla variabile b=α-β la differenza degli angoli
$$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
L'angolo alfa posso riscriverlo come (a+b)/2
$$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \cos \beta $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ a = \alpha + \beta $$ $$ a = \alpha + (\alpha - b) $$ $$ a = \alpha + \alpha - b $$ $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
L'angolo beta posso riscriverlo come (a-b)/2
$$ \cos a + \cos b = 2 \cdot \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ \beta = a - \alpha $$ $$ \beta = a - (\beta + b) $$ $$ \beta = a - \beta - b $$ $$ \beta + \beta = a - b $$ $$ 2 \beta = a - b $$ $$ \beta = \frac{ a - b }{2} $$
In questo modo ho dimostrato la formula di prostaferesi dell'addizione del coseno.
La formula di prostaferesi della differenza del coseno
Per dimostrare la formula di prostaferesi della differenza del coseno uso le formule di addizione e sottrazione del coseno
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases}$$
Sottraggo le due formule membro a membro
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta - ( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) $$
Poi semplifico
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = - \sin \alpha \sin \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
Assegno alla variabile a=α+β la somma degli angoli
$$ \cos a - \cos (\alpha-\beta) = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
e alla variabile b=α-β la differenza degli angoli
$$ \cos a - \cos b = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
L'angolo alfa posso riscriverlo come (a+b)/2
$$ \cos a - \cos b = - 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \sin \beta $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ a = \alpha + \beta $$ $$ a = \alpha + (\alpha - b) $$ $$ a = \alpha + \alpha - b $$ $$ a+b = 2\alpha $$ $$ \frac{a+b}{2} = \alpha $$
L'angolo beta posso riscriverlo come (a-b)/2
$$ \cos a - \cos b = - 2 \cdot \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} $$
Spiegazione. Se $$ a = \alpha + \beta $$ $$ b = \alpha - \beta $$ allora $$ \beta = a - \alpha $$ $$ \beta = a - (\beta + b) $$ $$ \beta = a - \beta - b $$ $$ \beta + \beta = a - b $$ $$ 2 \beta = a - b $$ $$ \beta = \frac{ a - b }{2} $$
In questo modo ho dimostrato la formula di prostaferesi della differenza del coseno.
E così via.
