L'equazione goniometrica del tipo sin(α)=cos(α')
L'equazione goniometrica $$ \sin \alpha = \cos \alpha' $$ si risolve con la formula $$ \sin \alpha = \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha' ) $$ le cui soluzioni sono $$ α = (\frac{\pi}{2} - \alpha') + 2k \pi \ ∨ \ α+(\frac{\pi}{2} - \alpha') = \pi + 2k \pi $$
Un esempio
Devo risolvere l'equazione goniometrica
$$ \sin(\frac{1}{2}x) = \cos(\frac{1}{4}x) $$
Trasformo la funzione coseno cos(1/4x) in una funzione seno sin(π/2-1/4x)
$$ \sin(\frac{1}{2}x) = \sin( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x) $$
In questo modo l'equazione diventa un'equazione del tipo sin α=sin α' dove.
$$ \alpha = \frac{1}{2}x $$
$$ \alpha' = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x $$
Applico la formula per trovare le soluzioni di un'equazione sin α=sin α'
$$ α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi $$
Dove k è un numero intero qualsiasi.
Sostituisco α e α'
$$ \frac{1}{2}x = ( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x) + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x+ (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x) = \pi + 2k \pi $$
Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x
$$ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = \pi + 2k \pi - \frac{\pi}{2} $$
$$ \frac{3}{4}x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{4}x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi $$
$$ x = \frac{4}{3} \cdot ( \frac{\pi}{2} + 2k \pi ) \ ∨ \ x = 4 \cdot ( \frac{\pi}{2} + 2k \pi ) $$
$$ x = \frac{ 2 \pi}{3} + \frac{8k \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi + 8k \pi $$
In questo modo ottengo tutte le soluzioni dell'equazione sin x = sin y
A questo punto verifico se effettivamente le soluzioni soddisfano l'equazione goniometrica.
Verifico per k=0
$$ x = \frac{ 2 \pi}{3} + \frac{8k \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi + 8k \pi $$
$$ x = \frac{ 2 \pi}{3} + \frac{8(0) \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi + 8(0) \pi $$
$$ x = \frac{ 2 \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi $$
Pertanto una soluzione dell'equazione è x=2π/3
Un'altra soluzione dell'equazione è x=2π
Variando la variabile k (ad esempio k=1, k=-1, k=2, ecc. ) ottengo le altre infinite soluzioni dell'equazione.
La dimostrazione
La funzione coseno
$$ \cos \alpha $$
Posso riscriverla tramite il seno usando un angolo associato
$$ \cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha )$$
Il seno e il coseno sono sfasati di 90° (πi/2) tra loro.
Quindi mi basta sottrarre l'angolo α da 90° (π/2) per scrivere la funzione coseno cos(α) tramite la funzione seno sin(π/2-α).
Pertanto, l'equazione goniometrica
$$ \sin \alpha = \cos \alpha' $$
posso riscriverla come
$$ \sin \alpha = \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha' )$$
In questo modo l'equazione diventa un'uguaglianza tra due funzioni seno sin(α)=sin(β) le cui soluzioni sono
$$ α = \beta + 2k \pi \ ∨ \ α+\beta = \pi + 2k \pi $$
In questo caso β = π/2-α'
$$ α = ( \frac{\pi}{2} - \alpha') + 2k \pi \ ∨ \ α+( \frac{\pi}{2} - \alpha') = \pi + 2k \pi $$
E questo dimostra la formula per risolvere le equazioni goniometriche del tipo sin(α)=cos(α').
E così via.
