L'equazione goniometrica del tipo sin(α)=cos(α')

L'equazione goniometrica $$\sin \alpha = \cos \alpha'$$ si risolve con la formula $$\sin \alpha = \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha' )$$ le cui soluzioni sono $$α = (\frac{\pi}{2} - \alpha') + 2k \pi \ ∨ \ α+(\frac{\pi}{2} - \alpha') = \pi + 2k \pi$$

Un esempio

Devo risolvere l'equazione goniometrica

$$\sin(\frac{1}{2}x) = \cos(\frac{1}{4}x)$$

Trasformo la funzione coseno cos(1/4x) in una funzione seno sin(π/2-1/4x)

$$\sin(\frac{1}{2}x) = \sin( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x)$$

In questo modo l'equazione diventa un'equazione del tipo sin α=sin α' dove.

$$\alpha = \frac{1}{2}x$$

$$\alpha' = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x$$

Applico la formula per trovare le soluzioni di un'equazione sin α=sin α'

$$α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi$$

Dove k è un numero intero qualsiasi.

Sostituisco α e α'

$$\frac{1}{2}x = ( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x) + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x+ (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}x) = \pi + 2k \pi$$

Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x

$$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = \pi + 2k \pi - \frac{\pi}{2}$$

$$\frac{3}{4}x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{4}x = \frac{\pi}{2} + 2k \pi$$

$$x = \frac{4}{3} \cdot ( \frac{\pi}{2} + 2k \pi ) \ ∨ \ x = 4 \cdot ( \frac{\pi}{2} + 2k \pi )$$

$$x = \frac{ 2 \pi}{3} + \frac{8k \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi + 8k \pi$$

In questo modo ottengo tutte le soluzioni dell'equazione sin x = sin y

A questo punto verifico se effettivamente le soluzioni soddisfano l'equazione goniometrica.

Verifico per k=0

$$x = \frac{ 2 \pi}{3} + \frac{8k \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi + 8k \pi$$

$$x = \frac{ 2 \pi}{3} + \frac{8(0) \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi + 8(0) \pi$$

$$x = \frac{ 2 \pi}{3} \ ∨ \ x = 2 \pi$$

Pertanto una soluzione dell'equazione è x=2π/3

Un'altra soluzione dell'equazione è x=2π

Variando la variabile k (ad esempio k=1, k=-1, k=2, ecc. ) ottengo le altre infinite soluzioni dell'equazione.

La dimostrazione

La funzione coseno

$$\cos \alpha$$

Posso riscriverla tramite il seno usando un angolo associato

$$\cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha )$$

Il seno e il coseno sono sfasati di 90° (πi/2) tra loro.

Quindi mi basta sottrarre l'angolo α da 90° (π/2) per scrivere la funzione coseno cos(α) tramite la funzione seno sin(π/2-α).

Pertanto, l'equazione goniometrica

$$\sin \alpha = \cos \alpha'$$

posso riscriverla come

$$\sin \alpha = \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha' )$$

In questo modo l'equazione diventa un'uguaglianza tra due funzioni seno sin(α)=sin(β) le cui soluzioni sono

$$α = \beta + 2k \pi \ ∨ \ α+\beta = \pi + 2k \pi$$

In questo caso β = π/2-α'

$$α = ( \frac{\pi}{2} - \alpha') + 2k \pi \ ∨ \ α+( \frac{\pi}{2} - \alpha') = \pi + 2k \pi$$

E questo dimostra la formula per risolvere le equazioni goniometriche del tipo sin(α)=cos(α').

E così via.