Formule di bisezione

Le formule di bisezione mi permettono di ottenere il valore delle funzioni goniometriche della metà di un angolo α/2 in funzione dell'angolo α. $$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$$ $$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$$ $$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{ \sqrt{1+\cos \alpha} } = \begin{cases} \frac{ \sin \alpha }{ 1 + \cos \alpha } \\ \\ \frac{ 1 - \cos \alpha }{ \sin \alpha } \end{cases}$$ $$\cot \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{ \sqrt{1-\cos \alpha} }$$

Come si sceglie il segno?

Nelle formule di bisezione c'è il doppio segno più o meno ± ma non valgono entrambi i segni.

Il segno della formula di bisezione è sempre uguale al segno della funzione goniometrica nell'angolo α/2.

Esempio. Se il segno del seno di α/2 è negativo perché il lato termine si trova nel III o IV quadrante, allora anche il segno della formula di bisezione del seno è negativo. Viceversa, se si trova nel I o II quadrante il segno della formula di bisezione del seno è positivo. Lo stesso ragionamento vale per il coseno, la tangente e la cotangente. Devo sempre considerare il segno della funzione goniometrica in questione nel lato termine dell'angolo α/2.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione l'angolo α=120°

$$\alpha = 120° = \frac{2 \pi}{3} \ rad$$

Il coseno dell'angolo α=120° è

$$\cos 120° = - \frac{1}{2}$$

A partire da quest'angolo posso ricavare i valori delle funzioni seno, coseno e tangente della metà dell'angolo α/2=60° tramite le formule di bisezione.

Applico la formula di bisezione del coseno

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$$

Sapendo che cos 120°=-1/2

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+(- \frac{1}{2})}{2}}$$

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2-1}{2}}{2}}$$

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$$

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$$

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1}{4} }$$

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{1}{2}$$

Scelgo il segno + perché il coseno di un angolo α/2=60° si trova nel I quadrante, quindi ha segno positivo.

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$$

Il risultato è corretto il coseno di 60° è +1/2.

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \cos(60°) = + 1$$

Applico la formula di bisezione del seno dell'angolo α/2 = 60°

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$$

Sapendo che cos 120°=-1/2

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{2})}{2}}$$

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2+1}{2}}{2}}$$

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}}$$

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}$$

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$$

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Scelgo il segno + perché il seno di un angolo α/2=60° si trova nel I quadrante, quindi ha segno positivo.

$$\sin \frac{\alpha}{2} = + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Il risultato è corretto il seno di un angolo di 60° è effettivamente la radice di 3 fratto 2.

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sin(60°) = + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Applico la formula di bisezione della tangente dell'angolo α/2 = 60°

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{ \sqrt{1+\cos \alpha} }$$

Sapendo che cos 120°=-1/2

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-(-\frac{1}{2}) }}{ \sqrt{1+ (-\frac{1}{2}) } }$$

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{2+1}{2} }}{ \sqrt{\frac{2-1}{2} } }$$

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{3}{2} }}{ \sqrt{\frac{1}{2} } }$$

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} } \sqrt{\frac{2}{1} }$$

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} }$$

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{3}$$

Scelgo il segno + perché la tangente di un angolo α/2=60° si trova nel I quadrante, quindi ha segno positivo.

$$\tan \frac{\alpha}{2} = + \sqrt{3}$$

Il risultato è corretto la tangente di un angolo di 60° è effettivamente la radice di 3

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \tan(60°) = + \sqrt{3}$$

Ho così ottenuto tutti i valori del seno, del coseno e della tangente di un angolo α=60° a partire dal valore del coseno del suo angolo doppio α=120°.

La dimostrazione

La formula di bisezione del coseno

Il coseno di un angolo alfa posso scriverlo in questa forma equivalente

$$\cos \alpha = \cos (2 \cdot \frac{\alpha}{2})$$

Applico la formula di duplicazione del coseno.

$$\cos \alpha = 2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2}) - 1$$

Metto in evidenza cos α/2

$$\cos^2 (\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$$

Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

$$\sqrt{ \cos^2 (\frac{\alpha}{2}) } = \sqrt { \frac{1 + \cos \alpha }{2} }$$

E ottengo la formula che volevo dimostrare

$$\cos (\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt { 1 + \frac{\cos \alpha}{2} }$$

La formula di bisezione del seno

Il coseno di un angolo alfa posso scriverlo in questa forma equivalente

$$\cos \alpha = \cos (2 \cdot \frac{\alpha}{2})$$

Applico la formula di duplicazione del coseno in funzione del seno.

$$\cos \alpha = 1 - 2 \cdot \sin^2 \frac{\alpha}{2}$$

Metto in evidenza sin α/2

$$- \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{ \cos (\alpha) - 1 }{2}$$

Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1

$$(-1) \cdot (- \sin^2 \frac{\alpha}{2} ) = (-1) \cdot ( \frac{ \cos (\alpha) - 1 }{2} )$$

$$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{ 1 - \cos (\alpha) }{2}$$

Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

$$\sqrt{ \sin^2 (\frac{\alpha}{2}) } = \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha }{2} }$$

E ottengo la formula che volevo dimostrare

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} }$$

La formula di bisezione della tangente

La tangente di un angolo α qualsiasi è uguale al rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo α

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Prendo in considerazione l'angolo α/2

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$$

Secondo la formula di bisezione del seno sin(α/2) = √(1-cos α)/2

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } }{\cos \frac{\alpha}{2}}$$

Secondo la formula di bisezione del coseno cos(α/2) = √(1+cos α)/2

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } }{ \sqrt { \frac{1 + \cos \alpha}{2} } }$$

A questo punto semplifico l'equazione

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } \cdot \sqrt { \frac{2}{ 1 + \cos \alpha } }$$

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} \cdot \frac{2}{ 1 + \cos \alpha } }$$

E ottengo la formula che volevo dimostrare

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{ 1 + \cos \alpha } }$$

La formula di bisezione della tangente

La cotangente è l'inverso della tangente.

$$\cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{ \tan \frac{\alpha}{2}}$$

Sostituisco la formula della tangente con quella ottenuta tramite la formula di bisezione

$$\cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{ \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{ 1 + \cos \alpha } } }$$

Semplifico e ottengo la formula che volevo dimostrare

$$\cot \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 + \cos \alpha}{ 1 - \cos \alpha } }$$

Le altre formule di bisezione della tangente

Le formule di bisezione della tangente sono

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \begin{cases} \frac{ \sin \alpha }{ 1 + \cos \alpha } \\ \\ \frac{ 1 - \cos \alpha }{ \sin \alpha } \end{cases}$$

Queste due formule sono ancora da dimostrare

La prima formula

La tangente di un angolo α/2 posso scriverla in questa forma equivalente

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} }$$

Moltiplico numeratore e denominatore per 2cos(α/2)

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} } \cdot \frac{2 \cos \frac { \alpha}{2} }{2 \cos \frac { \alpha}{2} }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac { \alpha}{2} }{ 2 \cos^2 \frac { \alpha}{2} }$$

Applico la formula di duplicazione del seno al numeratore

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cos^2 \frac { \alpha}{2} }$$

Nota. Secondo la formula di duplicazione del seno $$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$ In questo caso l'angolo è a=α/2, quindi $$\sin 2 \frac{ \alpha}{2} = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2}$$ $$\sin \alpha = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2}$$

Riscrivo il denominatore in questa forma equivalente

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot [( \cos \frac { \alpha}{2}) \cdot (\cos \frac { \alpha}{2} )] }$$

Poi applico la formula di bisezione del coseno

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot [( \sqrt{ \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } ) \cdot ( \sqrt{ \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } ) ] }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ 1+\cos \alpha}{2} \cdot \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ (1+\cos \alpha)^2}{4} } }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot \frac{ 1+\cos \alpha}{2} }$$

E trovo la prima formula di bisezione della tangente che volevo dimostrare

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 1+\cos \alpha }$$

La seconda formula

La tangente di un angolo α/2 posso scriverla in questa forma equivalente

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} }$$

Moltiplico numeratore e denominatore per 2sin(α/2)

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} } \cdot \frac{2 \sin \frac { \alpha}{2} }{2 \sin \frac { \alpha}{2} }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sin^2 \frac{ \alpha}{2} }{ 2 \cdot \cos \frac { \alpha}{2} \cdot \sin \frac { \alpha}{2} }$$

Applico la formula di duplicazione del seno al denominatore

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sin^2 \frac{ \alpha}{2} }{ \sin \alpha }$$

Nota. Secondo la formula di duplicazione del seno $$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$ In questo caso l'angolo è a=α/2, quindi $$\sin 2 \frac{ \alpha}{2} = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2}$$ $$\sin \alpha = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2}$$

Riscrivo il denominatore in questa forma equivalente

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot ( \sin \frac{ \alpha}{2} ) \cdot ( \sin \frac{ \alpha}{2} ) }{ \sin \alpha }$$

Poi applico la formula di bisezione del seno

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ 1-\cos \alpha}{2} } \cdot \sqrt{ \frac{ 1-\cos \alpha}{2} } }{ \sin \alpha }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ 1-\cos \alpha}{2} \cdot \frac{ 1-\cos \alpha}{2} } }{ \sin \alpha }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ (1-\cos \alpha)^2}{4} } }{ \sin \alpha }$$

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \frac{ 1-\cos \alpha}{2} }{ \sin \alpha }$$

E trovo la seconda formula di bisezione della tangente che volevo dimostrare

$$\tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 1-\cos \alpha }{ \sin \alpha }$$

E così via.