Formule di bisezione

Le formule di bisezione mi permettono di ottenere il valore delle funzioni goniometriche della metà di un angolo α/2 in funzione dell'angolo α. $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} $$ $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} $$ $$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{ \sqrt{1+\cos \alpha} } = \begin{cases} \frac{ \sin \alpha }{ 1 + \cos \alpha } \\ \\ \frac{ 1 - \cos \alpha }{ \sin \alpha } \end{cases} $$ $$ \cot \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{ \sqrt{1-\cos \alpha} } $$

Come si sceglie il segno?

Nelle formule di bisezione c'è il doppio segno più o meno ± ma non valgono entrambi i segni.

Il segno della formula di bisezione è sempre uguale al segno della funzione goniometrica nell'angolo α/2.

Esempio. Se il segno del seno di α/2 è negativo perché il lato termine si trova nel III o IV quadrante, allora anche il segno della formula di bisezione del seno è negativo. Viceversa, se si trova nel I o II quadrante il segno della formula di bisezione del seno è positivo. Lo stesso ragionamento vale per il coseno, la tangente e la cotangente. Devo sempre considerare il segno della funzione goniometrica in questione nel lato termine dell'angolo α/2.

Un esempio pratico
La dimostrazione

Un esempio pratico

Prendo in considerazione l'angolo α=120°

$$ \alpha = 120° = \frac{2 \pi}{3} \ rad $$

Il coseno dell'angolo α=120° è

$$ \cos 120° = - \frac{1}{2} $$

A partire da quest'angolo posso ricavare i valori delle funzioni seno, coseno e tangente della metà dell'angolo α/2=60° tramite le formule di bisezione.

Applico la formula di bisezione del coseno

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} $$

Sapendo che cos 120°=-1/2

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+(- \frac{1}{2})}{2}} $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2-1}{2}}{2}} $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}} $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } $$

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{1}{2} $$

Scelgo il segno + perché il coseno di un angolo α/2=60° si trova nel I quadrante, quindi ha segno positivo.

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} $$

Il risultato è corretto il coseno di 60° è +1/2.

$$ \cos \frac{\alpha}{2} = \cos(60°) = + 1 $$

Applico la formula di bisezione del seno dell'angolo α/2 = 60°

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} $$

Sapendo che cos 120°=-1/2

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{2})}{2}} $$

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{2+1}{2}}{2}} $$

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}} $$

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} $$

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} $$

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Scelgo il segno + perché il seno di un angolo α/2=60° si trova nel I quadrante, quindi ha segno positivo.

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Il risultato è corretto il seno di un angolo di 60° è effettivamente la radice di 3 fratto 2.

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sin(60°) = + \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Applico la formula di bisezione della tangente dell'angolo α/2 = 60°

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{ \sqrt{1+\cos \alpha} } $$

Sapendo che cos 120°=-1/2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{1-(-\frac{1}{2}) }}{ \sqrt{1+ (-\frac{1}{2}) } } $$

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{2+1}{2} }}{ \sqrt{\frac{2-1}{2} } } $$

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{3}{2} }}{ \sqrt{\frac{1}{2} } } $$

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} } \sqrt{\frac{2}{1} } $$

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} } $$

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{3} $$

Scelgo il segno + perché la tangente di un angolo α/2=60° si trova nel I quadrante, quindi ha segno positivo.

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = + \sqrt{3} $$

Il risultato è corretto la tangente di un angolo di 60° è effettivamente la radice di 3

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \tan(60°) = + \sqrt{3} $$

Ho così ottenuto tutti i valori del seno, del coseno e della tangente di un angolo α=60° a partire dal valore del coseno del suo angolo doppio α=120°.

La dimostrazione

La formula di bisezione del coseno

Il coseno di un angolo alfa posso scriverlo in questa forma equivalente

$$ \cos \alpha = \cos (2 \cdot \frac{\alpha}{2}) $$

Applico la formula di duplicazione del coseno.

$$ \cos \alpha = 2 \cos^2 (\frac{\alpha}{2}) - 1 $$

Metto in evidenza cos α/2

$$ \cos^2 (\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2} $$

Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{ \cos^2 (\frac{\alpha}{2}) } = \sqrt { \frac{1 + \cos \alpha }{2} } $$

E ottengo la formula che volevo dimostrare

$$ \cos (\frac{\alpha}{2}) = \pm \sqrt { 1 + \frac{\cos \alpha}{2} } $$

La formula di bisezione del seno

Il coseno di un angolo alfa posso scriverlo in questa forma equivalente

$$ \cos \alpha = \cos (2 \cdot \frac{\alpha}{2}) $$

Applico la formula di duplicazione del coseno in funzione del seno.

$$ \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \sin^2 \frac{\alpha}{2} $$

Metto in evidenza sin α/2

$$ - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{ \cos (\alpha) - 1 }{2} $$

Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1

$$ (-1) \cdot (- \sin^2 \frac{\alpha}{2} ) = (-1) \cdot ( \frac{ \cos (\alpha) - 1 }{2} ) $$

$$ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{ 1 - \cos (\alpha) }{2} $$

Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{ \sin^2 (\frac{\alpha}{2}) } = \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha }{2} } $$

E ottengo la formula che volevo dimostrare

$$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } $$

La formula di bisezione della tangente

La tangente di un angolo α qualsiasi è uguale al rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo α

$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$

Prendo in considerazione l'angolo α/2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} $$

Secondo la formula di bisezione del seno sin(α/2) = √(1-cos α)/2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } }{\cos \frac{\alpha}{2}} $$

Secondo la formula di bisezione del coseno cos(α/2) = √(1+cos α)/2

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{ \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } }{ \sqrt { \frac{1 + \cos \alpha}{2} } } $$

A questo punto semplifico l'equazione

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} } \cdot \sqrt { \frac{2}{ 1 + \cos \alpha } } $$

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{2} \cdot \frac{2}{ 1 + \cos \alpha } } $$

E ottengo la formula che volevo dimostrare

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{ 1 + \cos \alpha } } $$

La formula di bisezione della tangente

La cotangente è l'inverso della tangente.

$$ \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{ \tan \frac{\alpha}{2}} $$

Sostituisco la formula della tangente con quella ottenuta tramite la formula di bisezione

$$ \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{ \sqrt { \frac{1 - \cos \alpha}{ 1 + \cos \alpha } } } $$

Semplifico e ottengo la formula che volevo dimostrare

$$ \cot \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt { \frac{1 + \cos \alpha}{ 1 - \cos \alpha } } $$

Le altre formule di bisezione della tangente

Le formule di bisezione della tangente sono

$$ \tan \frac{\alpha}{2} = \begin{cases} \frac{ \sin \alpha }{ 1 + \cos \alpha } \\ \\ \frac{ 1 - \cos \alpha }{ \sin \alpha } \end{cases} $$

Queste due formule sono ancora da dimostrare

La prima formula

La tangente di un angolo α/2 posso scriverla in questa forma equivalente

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} } $$

Moltiplico numeratore e denominatore per 2cos(α/2)

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} } \cdot \frac{2 \cos \frac { \alpha}{2} }{2 \cos \frac { \alpha}{2} } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac { \alpha}{2} }{ 2 \cos^2 \frac { \alpha}{2} } $$

Applico la formula di duplicazione del seno al numeratore

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cos^2 \frac { \alpha}{2} } $$

Nota. Secondo la formula di duplicazione del seno $$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$ In questo caso l'angolo è a=α/2, quindi $$ \sin 2 \frac{ \alpha}{2} = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} $$ $$ \sin \alpha = 2 \sin \frac{ \alpha}{2} \cos \frac{ \alpha}{2} $$

Riscrivo il denominatore in questa forma equivalente

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot [( \cos \frac { \alpha}{2}) \cdot (\cos \frac { \alpha}{2} )] } $$

Poi applico la formula di bisezione del coseno

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot [( \sqrt{ \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } ) \cdot ( \sqrt{ \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } ) ] } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ 1+\cos \alpha}{2} \cdot \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ (1+\cos \alpha)^2}{4} } } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 2 \cdot \frac{ 1+\cos \alpha}{2} } $$

E trovo la prima formula di bisezione della tangente che volevo dimostrare

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \alpha }{ 1+\cos \alpha } $$

La seconda formula

La tangente di un angolo α/2 posso scriverla in questa forma equivalente

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} } $$

Moltiplico numeratore e denominatore per 2sin(α/2)

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \sin \frac{ \alpha}{2} }{ \cos \frac { \alpha}{2} } \cdot \frac{2 \sin \frac { \alpha}{2} }{2 \sin \frac { \alpha}{2} } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sin^2 \frac{ \alpha}{2} }{ 2 \cdot \cos \frac { \alpha}{2} \cdot \sin \frac { \alpha}{2} } $$

Applico la formula di duplicazione del seno al denominatore

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sin^2 \frac{ \alpha}{2} }{ \sin \alpha } $$

Riscrivo il denominatore in questa forma equivalente

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot ( \sin \frac{ \alpha}{2} ) \cdot ( \sin \frac{ \alpha}{2} ) }{ \sin \alpha } $$

Poi applico la formula di bisezione del seno

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ 1-\cos \alpha}{2} } \cdot \sqrt{ \frac{ 1-\cos \alpha}{2} } }{ \sin \alpha } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ 1-\cos \alpha}{2} \cdot \frac{ 1-\cos \alpha}{2} } }{ \sin \alpha } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \sqrt{ \frac{ (1-\cos \alpha)^2}{4} } }{ \sin \alpha } $$

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 2 \cdot \frac{ 1-\cos \alpha}{2} }{ \sin \alpha } $$

E trovo la seconda formula di bisezione della tangente che volevo dimostrare

$$ \tan \frac{ \alpha}{2} = \frac{ 1-\cos \alpha }{ \sin \alpha } $$

E così via.