Equazione goniometrica sin x = c

L'equazione goniometrica $$\sin x=c$$ è un'equazione goniometrica elementare in cui l'incognita x è l'argomento della funzione seno mentre c è un numero reale qualsiasi.

Questa equazione è determinata solo se il termine noto c è compreso nell'intervallo reale c ∈ [-1,1]

$$-1 \le c \le 1$$

Al di fuori dell'intervallo chiuso [-1,1] l'equazione è impossibile da risolvere perché non coincide con il codominio della funzione seno.

Nota. In trigonometria la funzione seno assume valori compresi tra -1 e 1.

Se l’equazione è determinata ammette infinite soluzioni α+2πk oppure π-α+2πk.

$$x = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k$$

Per risolvere l'equazione trovo l'angolo α tramite la funzione inversa del seno ossia l'arcoseno.

$$\arcsin c = \alpha$$

L'arcoseno calcola l'angolo α che determina il valore sin α = c.

Un esempio pratico

Devo verificare se questa equazione goniometrica ammette soluzioni

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

L'equazione è determinata perché il termine noto appartiene al codominio del seno.

$$-1 \le \frac{1}{2} \le 1$$

Quindi, l'equazione ha le seguenti soluzioni

$$x = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k$$

Per trovare l'angolo α calcolo l'arcoseno di 1/2 che è pari a π/6 (ossia 30°)

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Sostituisco l'angolo α=π/6 nella formula delle soluzioni dell'equazione goniometrica

$$x = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k$$

Dal punto di vista grafico le soluzioni sono le seguenti

Sia per un angolo π/6 che per un angolo π-π/6 l'equazione sin x = 1/2 è soddisfatta.

Essendo il seno una funzione periodica devo considerare anche i multipli interi k di un angolo giro 2πk tra le soluzioni possibili.

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k$$

Pertanto, l'equazione goniometrica sin x = 1/2 ha infinite soluzioni del tipo π/6+2πk e π-π/6+2πk

La dimostrazione

Disegno la circonferenza goniometrica sul piano cartesiano.

La circonferenza goniometrica è una circonferenza con raggio pari a 1.

Il valore della funzione seno si misura sull'asse verticale delle ordinate ed è compreso tra -1 e +1 (codominio del seno).

Prendo un valore reale c qualsiasi e studio se l'equazione goniometrica ha soluzioni.

Se il valore c è maggiore di 1, la retta y=c è una retta parallela all'asse delle ascisse che non interseca la circonferenza goniometrica.

Pertanto, nessun angolo x del seno può generare un valore c maggiore di uno.

Allo stesso modo, se il valore c è minore di -1, nessun angolo x del seno può generare il valore c.

Pertanto, l'equazione sin x=c è determinata solo se il valore c è compreso nell'intervallo [-1,1]

$$-1 \le c \le 1$$

A questo punto considero un valore c nell'intervallo [-1,1].

L'equazione y=c è una retta parallela all'asse orizzontale che interseca la circonferenza goniometrica in due punti P₁ e P₂.

I punti P₁ e P₂ sono i lati terminali del raggio dell'angolo α₁ e dell'angolo α₂.

Pertanto, in corrispondenza del valore c esistono due angoli α₁ e α₂ in grado di soddisfare l'equazione goniometrica sin x = c

$$\sin \alpha_1 = \sin \alpha_2 = c$$

Entrambe le soluzioni α₁ e α₂ soddisfano l'equazione, quindi posso scrivere

$$x = \alpha_1 \vee \alpha_2$$

Tuttavia, queste non sono le uniche soluzioni possibili.

Il seno è una funzione periodica che ripete gli stessi valori ogni k periodo 2π.

Quindi devo considerare nell'insieme delle soluzioni anche la somma di α₁ e α₂ con i multipli interi di 2πk

$$x = \alpha_1 + 2\pi k \vee \alpha_2 + 2\pi k$$

Gli angoli α₁ e α₂ sono angoli associati del seno perché generano lo stesso risultato sin(α₁)=sin(α₂).

Quindi, posso riscrivere l'angolo α₂=π-α₁ in funzione di α₁.

$$x = \alpha_1 + 2\pi k \vee (\pi - \alpha1) + 2\pi k$$

Essendoci un solo angolo α₁, semplifico ulteriormente l'equazione scrivendo α=α₁

$$x = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k$$

Pertanto, se il valore c è compreso nell'intervallo [-1,1] l'equazione sin x = c è determinata e ammette infinite soluzioni x = α+2πk oppure π-α+2πk.

$$\sin x = c$$

Nota. Nel caso particolare in cui c=1 o c=-1 la retta y=c interseca la circonferenza goniometrica in un solo punto anziché due. L'insieme delle soluzioni include anche questi casi particolari in cui $$\alpha = \pi - \alpha$$

Per trovare l'angolo α applico la funzione arcoseno a entrambi i membri dell'equazione

$$\arcsin( \sin x ) = \arcsin c$$

L'arcoseno è la funzione inversa del seno.

Quindi, arcsin(sin x) = x

$$x = \arcsin c$$

In questo modo trovo la soluzione x dell'equazione goniometrica sin x = c.

E così via.