Equazione goniometrica cos x = c
L'equazione goniometrica $$ \cos x=c $$ è un'equazione goniometrica elementare in cui l'incognita x è l'argomento della funzione coseno mentre c è un numero reale qualsiasi.
L'equazione cos x = c è determinata solo se il valore c è compreso nell'intervallo reale c ∈ [-1,1]
$$ -1 \le c \le 1 $$
Al di fuori dell'intervallo chiuso [-1,1] l'equazione è impossibile da risolvere perché non coincide con il codominio della funzione coseno.
Nota. In trigonometria la funzione coseno assume valori compresi tra -1 e 1.
Se l’equazione cos x = c è determinata ammette infinite soluzioni del tipo α+2πk oppure -α+2πk.
$$ x = \alpha + 2\pi k \vee - \alpha + 2\pi k $$
Per risolvere l'equazione trovo l'angolo α tramite la funzione inversa del coseno ossia l'arcocoseno.
$$ \arccos c = \alpha $$
L'arcocoseno calcola l'angolo α che determina il valore cos α = c.
Un esempio pratico
Devo verificare se questa equazione goniometrica ammette soluzioni
$$ \cos x = \frac{1}{2} $$
L'equazione è determinata perché il termine noto appartiene al codominio del coseno.
$$ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $$
Pertanto, l'equazione goniometrica ha le seguenti soluzioni
$$ x = \alpha + 2\pi k \vee - \alpha + 2\pi k $$
Per trovare l'angolo α calcolo l'arcocoseno di 1/2 che è pari a π/3 (ossia 60°)
$$ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $$
Sostituisco l'angolo α=π/3 nella formula delle soluzioni dell'equazione goniometrica
$$ x = \alpha + 2\pi k \vee - \alpha + 2\pi k $$
$$ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \vee - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$
Dal punto di vista grafico le soluzioni sono le seguenti
Sia per un angolo π/3 rad (60°) che per un angolo -π/3 rad (-60°) l'equazione cos x = 1/2 è soddisfatta.
Essendo il coseno una funzione periodica considero anche i multipli interi k dell'angolo giro 2πk tra le soluzioni possibili.
$$ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \vee - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$
Pertanto, l'equazione goniometrica cos x = 1/2 ha infinite soluzioni del tipo π/3+2πk e -π/3+2πk
La dimostrazione
Disegno la circonferenza goniometrica sul piano cartesiano.
La circonferenza goniometrica è una circonferenza con raggio pari a 1.
Il valore della funzione coseno si misura sull'asse orizzontale delle ascisse ed è compreso tra -1 e +1 (codominio del coseno).
Considero un valore reale c qualsiasi e studio se l'equazione goniometrica ha soluzioni.
Se il valore c è maggiore di 1, la retta x=c è una retta parallela all'asse delle ordinate che non interseca la circonferenza goniometrica.
Pertanto, nessun angolo x del coseno può generare un valore c maggiore di uno.
Allo stesso modo, se il valore c è minore di -1, nessun angolo x del coseno può generare il valore c.
Pertanto, l'equazione cos x=c è determinata solo se il valore c è compreso nell'intervallo [-1,1]
$$ -1 \le c \le 1 $$
A questo punto considero un valore c nell'intervallo [-1,1].
L'equazione x=c è una retta parallela all'asse verticale che interseca la circonferenza goniometrica in due punti P1 e P2.
I punti P1 e P2 sono i lati terminali del raggio dell'angolo α e dell'angolo -α, dove l'angolo -α è l'angolo opposto di α in quanto il coseno è una funzione pari.
Pertanto, in corrispondenza del valore c esistono due angoli α e -α in grado di soddisfare l'equazione goniometrica cos x = c
$$ \cos \alpha = \cos (-\alpha) = c $$
Entrambe le soluzioni α e -α soddisfano l'equazione, quindi posso scrivere
$$ x = \alpha \vee -\alpha $$
Tuttavia, queste non sono le uniche soluzioni possibili.
Il coseno è una funzione periodica che ripete gli stessi valori ogni k periodo 2π.
Quindi devo considerare nell'insieme delle soluzioni anche la somma di α e -α con i multipli interi di 2πk
$$ x = \alpha + 2\pi k \vee -\alpha + 2\pi k $$
Pertanto, se il valore c è compreso nell'intervallo [-1,1] l'equazione cos x = c è determinata e ammette infinite soluzioni x = α+2πk oppure -α+2πk.
$$ \cos x = c $$
Nota. Nel caso particolare in cui c=1 o c=-1 la retta x=c interseca la circonferenza goniometrica in un solo punto anziché due. L'insieme delle soluzioni include anche questi casi particolari in cui $$ \alpha = - \alpha = 0 $$
Per trovare l'angolo α applico la funzione arcocoseno a entrambi i membri dell'equazione
$$ \arccos( \cos x ) = \arccos c $$
L'arcocoseno è la funzione inversa del coseno.
Quindi, arccos(cos x) = x
$$ x = \arccos c $$
Con l'angolo α ottengo anche l'angolo opposto -α.
E così via.
