Primo teorema del triangolo rettangolo
- In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto (b) è uguale
- all'ipotenusa (a) moltiplicata per il seno dell'angolo opposto (α) al cateto $$ b = a \cdot \sin \alpha $$
- all'ipotenusa (a) moltiplicata per il coseno dell'angolo acuto adiacente (β) al cateto $$ b = a \cdot \cos \beta $$
Allo stesso modo l'altro cateto (c) del triangolo rettangolo è uguale al prodotto tra l'ipotenusa (a) e il seno dell'angolo opposto (β)
$$ c = a \cdot \sin \beta $$
e al prodotto tra l'ipotenusa (a) e il coseno dell'angolo adiacente (α)
$$ c = a \cdot \cos \alpha $$
Un esempio pratico
Considero un triangolo rettangolo
La lunghezza dell'ipotenusa è
$$ a = \overline{AB} = 6.71 $$
La lunghezza dei due cateti è
$$ b = \overline{BC} = 3 $$
$$ c = \overline{AC} = 6 $$
Gli angoli del triangolo rettangolo sono
$$ \alpha = 26.57° $$
$$ \beta = 63.43° $$
$$ \gamma = 90° $$
Se moltiplico l'ipotenusa (a) per il seno dell'angolo alfa (α) ottengo la lunghezza del cateto opposto (b)
$$ 6.71 \cdot \sin ( 26.57° ) = 3 $$
Se moltiplico l'ipotenusa (a) per il coseno di alfa (α) ottengo la lunghezza del cateto adiacente (c)
$$ 6.71 \cdot \cos ( 26.57° ) = 6 $$
Se moltiplico l'ipotenusa (a) per il seno dell'angolo beta (β) ottengo la lunghezza del cateto opposto (c)
$$ 6.71 \cdot \sin ( 63.43° ) = 6 $$
Se moltiplico l'ipotenusa (a) per il coseno di beta (β) ottengo la lunghezza del cateto adiacente (b)
$$ 6.71 \cdot \cos ( 63.43° ) = 3 $$
La dimostrazione
Disegno un triangolo rettangolo ABC in cui l'angolo retto è l'angolo γ.
Disegno sul rettangolo la circonferenza goniometrica con centro A.
Chiamo D il punto di intersezione tra l'ipotenusa del triangolo rettangolo e la circonferenza goniometrica.
Proietto il punto D sull'asse delle ascisse (cateto c) e individuo il punto E.
In questo modo ottengo un altro triangolo rettangolo ADE inscritto nella circonferenza goniometrica.
I triangoli ABC e ADE sono triangoli simili in quanto sono entrambi triangoli rettangoli e hanno l'angolo acuto α in comune.
Pertanto, posso scrivere la seguente proporzione
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \overline{DE} : \overline{AD} $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{AD} $$
Il lato AD è il raggio unitario della circonferenza goniometrica ossia r=1.
Pertanto, posso sostituire AD con 1.
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \overline{DE} : 1 $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \overline{AE} : 1 $$
Il lato DE è il seno dell'angolo alfa (α)
Pertanto, posso sostituire il lato DE con sin α
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \sin \alpha : 1 $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \overline{AE} : 1 $$
Il lato AE è il coseno dell'angolo alfa (α)
Pertanto, posso sostituire il lato AE con cos α
$$ \overline{BC} : \overline{AB} = \sin \alpha : 1 $$
$$ \overline{AC} : \overline{AB} = \cos \alpha : 1 $$
Riscrivo le proporzioni sotto forma di frazioni
$$ \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \frac{\sin \alpha}{1} $$
$$ \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{\cos \alpha}{1} $$
Semplifico e metto in evidenza il lato BC e il lato AC
$$ \overline{BC} = \overline{AB} \cdot \sin \alpha $$
$$ \overline{AC} = \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$
Sapendo che AB=a, BC=b e AC=c
$$ b = a \cdot \sin \alpha $$
$$ c = a \cdot \cos \alpha $$
Pertanto, il lato b è uguale all'ipotenusa (a) per il seno dell'angolo opposto (α).
Il lato c è uguale all'ipotenusa (a) per il coseno dell'angolo adiacente (α).
In questo modo ho dimostrato il teorema iniziale, un cateto del triangolo rettangolo è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il seno dell'angolo opposto al lato e al prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo adiacente al lato.
Nota. Di conseguenza, seguendo il teorema appena dimostrato, anche il lato c è uguale al prodotto tra l'ipotenusa (a) e il seno dell'angolo opposto β al lato $$ c = a \cdot \sin \beta $$ e il lato b è uguale al prodotto tra l'ipotenusa (a) e il coseno dell'angolo adiacente β al lato $$ b = a \cdot \cos \beta $$
Tutte le formule sono dimostrate.
E così via.
