Formule parametriche in trigonometria
In trigonometria le formule parametriche mi consentono di calcolare il seno e il coseno di un angolo α in base al valore della tangente dell'angolo α/2.
La formula parametrica del seno $$ \sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
La formula parametrica del coseno $$ \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
Se considero il parametro
$$ t = \tan \frac{ \alpha }{ 2 } $$
le stesse formule posso scriverle anche in una forma parametrica più sintetica
$$ \sin \alpha = \frac{2 \cdot t }{1+ t^2 } $$ $$ \cos \alpha = \frac{1 - t^2 }{1+ t^2 } $$
Il significato è sempre lo stesso.
A cosa servono le formule parametriche?
Se conosco già il valore della tangente di α/2 posso ottenere facilmente anche il valore del seno e del coseno dell'angolo α.
Un esempio pratico
Prendo in considerazione il valore della tangente di 45° (π/4 rad)
$$ \tan 45° = 1 $$
Considerando α/2=45° calcolo il seno di α=90° tramite la formula parametrica del seno.
$$ \sin \alpha = \frac{2 \cdot \tan \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
$$ \sin 90° = \frac{2 \cdot \tan 45° }{1+ \tan^2 45° } $$
Sapendo che tan 45° = 1
$$ \sin 90° = \frac{2 \cdot 1 }{1+ 1 } $$
$$ \sin 90° = \frac{2}{2} $$
$$ \sin 90° = 1 $$
Ho così ottenuto il valore del seno di 90° a partire dal valore della tangente di 45°.
Esempio 2
A partire dal valore della tangente di 45° (π/4 rad)
$$ \tan 45° = 1 $$
Calcolo il coseno di α=90° tramite la formula parametrica del coseno usando l'angolo α/2=45°.
$$ \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2} }{1+ \tan^2 \frac{\alpha}{2} } $$
$$ \cos 90° = \frac{1 - \tan^2 45° }{1+ \tan^2 45° } $$
Sapendo che tan 45° = 1
$$ \cos 90° = \frac{1 - 1 }{1+ 1 } $$
$$ \cos 90° = \frac{0}{2} $$
$$ \cos 90° = 0 $$
Ho così calcolato il valore del coseno di 90° a partire dal valore della tangente di 45°.
La dimostrazione
Dimostrazione della formula parametrica del seno
Il seno di un angolo a
$$ \sin a $$
posso riscriverlo in una forma equivalente in funzione dell'angolo a/2 usando la formula di duplicazione del seno
$$ \sin a = 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} $$
Il denominatore del secondo membro è 1.
Di norma non si scrive ma in questo caso preferisco indicarlo per spiegare meglio il resto della dimostrazione.
$$ \sin a = \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} }{1} $$
Secondo la relazione fondamentale della trigonometria la somma dei quadrati del coseno e del seno di un angolo è uguale a uno ossia sin2(θ)+cos2(θ)=1.
Quindi, posso sostituire il numero 1 al denominatore con la relazione fondamentale della trigonometria usando come angolo a/2.
$$ \sin a = \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} }{ \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} } $$
Questa formula è equivalente alla precedente.
Grazie alla proprietà invariantiva delle frazioni divido sia il denominatore che il numeratore per il coseno quadro (cos2) dell'angolo a/2.
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
Poi semplifico il coseno al numeratore
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 + \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
Con qualche passaggio algebrico semplifico anche il denominatore.
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + \frac { \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
$$ \sin a = \frac{ \frac{ 2 \cdot \sin \frac{a}{2} }{ \cos \frac{a}{2} } }{ \frac { \sin^2 }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + 1 } $$
Sapendo che il rapporto del seno per il coseno è la tangente
$$ \sin a = \frac{ 2 \cdot \tan \frac{a}{2} }{ \tan^2 \frac{a}{2} + 1 } $$
Ho così ottenuto la formula parametrica del seno che volevo dimostrare.
Dimostrazione della formula parametrica del coseno
Il coseno di un angolo a
$$ \cos a $$
posso riscriverlo in una forma equivalente in funzione dell'angolo a/2 usando la formula di duplicazione del seno
$$ \cos a = \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} $$
Il denominatore del secondo membro è 1.
Anche in questo caso lo indico per spiegare meglio il resto della dimostrazione.
$$ \cos a = \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} }{1} $$
Secondo la relazione fondamentale della trigonometria la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a uno ossia sin2+cos2=1.
Quindi, posso riscrivere il denominatore in questa forma equivalente.
$$ \cos a = \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} }{ \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} } $$
Ora divido il denominatore e il numeratore per il coseno quadro (cos2) dell'angolo a/2.
$$ \cos a = \frac{ \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} - \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} + \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
Con qualche passaggio algebrico semplifico il coseno al numeratore e al denominatore.
$$ \cos a = \frac{ \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } - \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + \frac{ \cos^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } } $$
$$ \cos a = \frac{ 1 - \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } }{ \frac{ \sin^2 \frac{a}{2} }{ \cos^2 \frac{a}{2} } + 1 } $$
Sapendo che il rapporto del seno per il coseno è la tangente
$$ \cos a = \frac{ 1 - \tan^2 \frac{a}{2} }{ \tan^2 \frac{a}{2} + 1 } $$
Ho ottenuto la formula parametrica del coseno che volevo dimostrare.
E così via.
