Valori notevoli delle funzioni trigonometriche

I valori notevoli delle funzioni trigonometriche sono particolari valori di seno, coseno, tangente e cotangente che si ottengono in corrispondenza di angoli specifici (espressi in gradi o in radianti) come \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) e loro multipli o combinazioni significative.

A cosa servono? Questi valori mi permettono di semplificare e risolvere problemi geometrici senza dover ricorrere a calcoli e approssimazioni numeriche. Questi angoli rappresentano punti importanti nella trigonometria perché producono risultati semplici ed esatti, spesso espressi in forma frazionaria o con radici quadrate.

Ecco una tabella con i principali valori notevoli delle funzioni goniometriche.

Gradi Radianti Seno Coseno Tangente Cotangente
\( 0 \) \( 0 \) \( 1 \) \( 0 \) \( \pm \infty \)
15° \( \frac{\pi}{12} \) \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( 2 - \sqrt{3} \) \( 2 + \sqrt{3} \)
18° \( \frac{\pi}{10} \) \( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \) \( \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \) \( \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \)
22° 30' \( \frac{\pi}{8} \) \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( \sqrt{2} - 1 \) \( \sqrt{2} + 1 \)
30° \( \frac{\pi}{6} \) \( \frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) \( \sqrt{3} \)
36° \( \frac{\pi}{5} \) \( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \) \( \frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \)
45° \( \frac{\pi}{4} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( 1 \) \( 1 \)
54° \( \frac{3\pi}{10} \) \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \) \( \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \)
60° \( \frac{\pi}{3} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{1}{2} \) \( \sqrt{3} \) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
67° 30' \( \frac{3\pi}{8} \) \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( \sqrt{2} + 1 \) \( \sqrt{2} - 1 \)
72° \( \frac{2\pi}{5} \) \( \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \) \( \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \) \( \frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \)
75° \( \frac{5\pi}{12} \) \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) \( 2 + \sqrt{3} \) \( 2 - \sqrt{3} \)
90° \( \frac{\pi}{2} \) \( 1 \) \( 0 \) \( \pm \infty \) \( 0 \)
105° \( \frac{7\pi}{12} \) \( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \) \( -2 - \sqrt{3} \) \( \sqrt{3} - 2 \)
108° \( \frac{3\pi}{5} \) \( \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \) \( -\sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \) \( -\frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \)
112° 30' \( \frac{5\pi}{8} \) \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( -1 - \sqrt{2} \) \( 1 - \sqrt{2} \)
120° \( \frac{2\pi}{3} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( -\frac{1}{2} \) \( -\sqrt{3} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)
126° \( \frac{7\pi}{10} \) \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( -\frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \) \( -\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \)
135° \( \frac{3\pi}{4} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( -1 \) \( -1 \)
144° \( \frac{4\pi}{5} \) \( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( -\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \) \( -\frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \)
150° \( \frac{5\pi}{6} \) \( \frac{1}{2} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) \( -\sqrt{3} \)
157° 30' \( \frac{7\pi}{8} \) \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( 1 - \sqrt{2} \) \( -\sqrt{2} - 1 \)
162° \( \frac{9\pi}{10} \) \( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \) \( -\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \) \( -\sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \)
165° \( \frac{11\pi}{12} \) \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( \sqrt{3} - 2 \) \( -\sqrt{3} - 2 \)
180° \( \pi \) \( 0 \) \( -1 \) \( 0 \) \( \pm \infty \)
195° \( \frac{13\pi}{12} \) \( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( 2 - \sqrt{3} \) \( 2 + \sqrt{3} \)
198° \( \frac{11\pi}{10} \) \( \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \) \( \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \)
202° 30' \( \frac{9\pi}{8} \) \( -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( \sqrt{2} - 1 \) \( \sqrt{2} + 1 \)
210° \( \frac{7\pi}{6} \) \( -\frac{1}{2} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) \( \sqrt{3} \)
216° \( \frac{6\pi}{5} \) \( -\frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \) \( \frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \)
225° \( \frac{5\pi}{4} \) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( 1 \) \( 1 \)
234° \( \frac{13\pi}{10} \) \( -\frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( -\frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \) \( \sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \)
240° \( \frac{4\pi}{3} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( -\frac{1}{2} \) \( \sqrt{3} \) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
247° 30' \( \frac{11\pi}{8} \) \( -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( \sqrt{2} + 1 \) \( \sqrt{2} - 1 \)
252° \( \frac{7\pi}{5} \) \( -\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \) \( \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \) \( \frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \)
255° \( \frac{17\pi}{12} \) \( -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \) \( 2 + \sqrt{3} \) \( 2 - \sqrt{3} \)
270° \( \frac{3\pi}{2} \) \( -1 \) \( 0 \) \( \pm \infty \) \( 0 \)
285° \( \frac{19\pi}{12} \) \( -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) \( -2 - \sqrt{3} \) \( \sqrt{3} - 2 \)
288° \( \frac{8\pi}{5} \) \( -\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \) \( -\sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \) \( -\frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \)
292° 30' \( \frac{13\pi}{8} \) \( -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( -1 - \sqrt{2} \) \( 1 - \sqrt{2} \)
300° \( \frac{5\pi}{3} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \frac{1}{2} \) \( -\sqrt{3} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)
306° \( \frac{17\pi}{10} \) \( -\frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \) \( -\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \)
315° \( \frac{7\pi}{4} \) \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( -1 \) \( -1 \)
324° \( \frac{9\pi}{5} \) \( -\frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} \) \( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \) \( -\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \) \( -\frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{5} \)
330° \( \frac{11\pi}{6} \) \( -\frac{1}{2} \) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) \( -\sqrt{3} \)
337° 30' \( \frac{15\pi}{8} \) \( -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \) \( 1 - \sqrt{2} \) \( -1 - \sqrt{2} \)
342° \( \frac{19\pi}{10} \) \( \frac{1 - \sqrt{5}}{4} \) \( \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} \) \( -\frac{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}{5} \) \( -\sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \)
345° \( \frac{23\pi}{12} \) \( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} \) \( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \) \( \sqrt{3} - 2 \) \( -2 - \sqrt{3} \)
360° \( 2\pi \) \( 0 \) \( 1 \) \( 0 \) \( \pm \infty \)

 

 


 

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