Equazione goniometrica sin x = sin y

L'equazione goniometrica sin α = sin α' è soddisfatta se gli angoli sono congruenti α=α' o gli angoli sono supplementari α+α'=π. $$ α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi $$

Essendo il seno una funzione periodica con periodo 2π, l'equazione goniometrica ha infinite soluzioni considerando anche i multipli interi k di un angolo giro 2π.

Dove k è un numero intero qualsiasi anche negativo.

Un esempio pratico

Devo risolvere la sequente equazione

$$ \sin ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} ) $$

Gli angoli delle due funzioni seno sono i seguenti

$$ \alpha = \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} $$

$$ \alpha ' = \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} $$

Applico la formula dell'equazione goniometrica sin x = sin y

$$ α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi $$

Sostituisco α e α'

$$ \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} = \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2}+ \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2k \pi $$

Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x

$$ \frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{3+1}{6}x + \frac{3\pi+\pi}{6} = \pi + 2k \pi $$

$$ \frac{3-1}{6}x = \frac{\pi - 3 \pi}{6} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{4}{6}x + \frac{4\pi}{6}= \pi + 2k \pi $$

$$ \frac{2}{6}x = \frac{- 2 \pi}{6} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{2}{3}x + \frac{2\pi}{3} = \pi + 2k \pi $$

$$ \frac{1}{3}x = \frac{- \pi}{3} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{2}{3}x = \pi - \frac{2\pi}{3} + 2k \pi $$

$$ x = \frac{3}{1} ( \frac{- \pi}{3} + 2k \pi ) \ ∨ \ \frac{2}{3}x = \frac{3 \pi - 2\pi}{3} + 2k \pi $$

$$ x = - \pi + 6k \pi \ ∨ \ \frac{2}{3} x = \frac{ \pi }{3} + 2k \pi $$

$$ x = - \pi + 6k \pi \ ∨ \ x = \frac{3}{2} ( \frac{ \pi }{3} + 2k \pi ) $$

$$ x = - \pi + 6k \pi \ ∨ \ x = \frac{3}{2} \cdot \frac{ \pi }{3} + \frac{3}{2} \cdot 2k \pi $$

$$ x = - \pi + 6k \pi \ ∨ \ x = \frac{\pi }{2} + 3 k \pi $$

In questo modo ottengo tutte le soluzioni dell'equazione sin x = sin y

$$ x = - \pi + 6k \pi \ ∨ \ x = \frac{\pi }{2} + 3 k \pi $$

A questo punto verifico se effettivamente le soluzioni soddisfano l'equazione goniometrica.

Verifico per k=0

$$ x = - \pi + 6(0) \pi \ ∨ \ x = \frac{\pi }{2} + 3 (0) \pi $$

$$ x = - \pi \ ∨ \ x = \frac{ \pi }{2} $$

Sostituisco la prima soluzione x = -π nell'equazione goniometrica

$$ \sin ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{1}{2} (-\pi)+ \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6} (-\pi) + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( 0 ) = \sin ( 0 ) $$

$$ 0 = 0 $$

Ed è soddisfatta.

Sostituisco la seconda soluzione x = π/2 nell'equazione goniometrica

$$ \sin ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{\pi + 2 \pi}{4} ) = \sin ( \frac{\pi + 2 \pi}{12} ) $$

$$ \sin ( \frac{3 \pi }{4} ) = \sin ( \frac{3 \pi }{12} ) $$

$$ \sin ( \frac{3 \pi }{4} ) = \sin ( \frac{ \pi }{4} ) $$

$$ 0,71 = 0,71 $$

Ed è soddisfatta.

Verifico per k=1

$$ x = - \pi + 6(1) \pi \ ∨ \ x = \frac{\pi }{2} + 3 (1) \pi $$

$$ x = 5 \pi \ ∨ \ x = \frac{\pi }{2} + 3 \pi $$

$$ x = 5 \pi \ ∨ \ x = \frac{6 \pi + \pi }{2} $$

$$ x = 5 \pi \ ∨ \ x = \frac{7 \pi }{2} $$

Sostituisco la prima soluzione x = 5π nell'equazione goniometrica

$$ \sin ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{1}{2} (5\pi)+ \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6} (5\pi) + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{6 \pi }{2} ) = \sin ( \frac{6\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( 3 \pi ) = \sin ( \pi ) $$

Ed è soddisfatta perché sen(3π)=0 e sen(π)=0.

Sostituisco la seconda soluzione x = 7π/2 nell'equazione goniometrica

$$ \sin ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6}x + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{1}{2} \cdot \frac{7 \pi}{2} + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{1}{6} \cdot \frac{7 \pi}{2} + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{7 \pi}{4} + \frac{\pi}{2} ) = \sin ( \frac{7 \pi}{12} + \frac{\pi}{6} ) $$

$$ \sin ( \frac{7 \pi + 2 \pi}{4} ) = \sin ( \frac{7 \pi + 2 \pi }{12} ) $$

$$ \sin ( \frac{9 \pi}{4} ) = \sin ( \frac{9 \pi }{12} ) $$

$$ \sin ( \frac{9 \pi}{4} ) = \sin ( \frac{3 \pi }{4} ) $$

$$ 0,71 = 0,71 $$

Ed è soddisfatta.

La dimostrazione

Considero due angoli α₁ e α₂ che generano lo stesso valore del seno.

$$ \sin \alpha_1 = \sin \alpha_2 = c $$

Due angoli hanno lo stesso valore del seno in sole due circostanze

1. se gli angoli sono congruenti (α₁=α₂)
2. se gli angoli sono supplementari (α₁+α₂=π)

Dal punto di vista grafico

 

Quindi le condizioni necessarie per ottenere lo stesso valore del seno sono

$$ α_1 = α_2 $$ $$ α_1+α_2 = \pi $$

Il seno è una funzione periodica con periodo uguale a 2π.

Pertanto, devo considerare anche i multipli k dell'angolo giro 2π tra le soluzioni possibili.

$$ α_1 = α_2 + 2k \pi $$ $$ α_1+α_2 = \pi + 2k \pi $$

Questo dimostra l'insieme delle soluzioni delle equazioni sin α₁ = sin α₂

$$ α_1 = α_2 + 2k \pi \ ∨ \ α_1+α_2 = \pi + 2k \pi $$

E così via.