Il teorema del coseno

Il quadrato di un lato del triangolo a2 è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati b2+c2, meno il doppio prodotto dei due lati 2bc per il coseno dell'angolo α tra i due lati. $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha $$

la dimostrazione del teorema

Questo teorema è anche conosciuto come teorema del coseno di Carnot.

Esempio

Devo calcolare la lunghezza del lato BC di questo triangolo

un triangolo di esempio

Del triangolo conosco la lunghezza dei lati AB e AC e l'ampiezza dell'angolo α

$$ \overline{AB} = 5 $$

$$ \overline{AC} = 4,88 $$

$$ \alpha =45° $$

Applico il teorema del coseno sul lato BC

$$ \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 -2 \overline{AC} \cdot \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$

Sapendo che AB=5, AC=4,88 e α=45°

$$ \overline{BC}^2 = 5^2 + (4,88)^2 -2 \cdot (5 \cdot 4,88) \cdot \cos 45° $$

$$ \overline{BC}^2 = 14,3 $$

Calcolo la matrice quadrata in entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{ \overline{BC}^2 } = \sqrt{ 14,3 } $$

$$ \overline{BC} = \sqrt{ 14,3 } $$

$$ \overline{BC} = 3,78 $$

Il lato BC misura 3,78

la lunghezza del lato BC

La dimostrazione

Considero un triangolo ABC qualsiasi.

un triangolo qualsiasi

Traccio l'altezza h del triangolo ottenendo due triangoli rettangoli ABD e BCD.

l'altezza del triangolo

Secondo il primo teorema del triangolo rettangolo in base al quale un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente al cateto oppure per il seno dell'angolo opposto.

In questo modo ottengo la lunghezza dei lati BD e AD

$$ \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \sin \alpha $$

$$ \overline{AD} = \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$

Dove AB è l'ipotenusa del triangolo rettangolo ABD mentre BD e AD sono i cateti.

Sapendo che il segmento AC è la somma dei segmenti AD e CD

$$ \overline{AC} = \overline{AD} + \overline{CD} $$

ottengo per differenza il cateto CD del triangolo BCD

$$ \overline{CD} = \overline{AC} - \overline{AD} $$

$$ \overline{CD} = \overline{AC} - \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$

Secondo il teorema di Pitagora il quadrato dell'ipotenusa BC è uguale alla somma dei quadrati dei cateti del triangolo rettangolo BCD.

$$ \overline{BC}^2 = \overline{BD}^2 + \overline{CD}^2 $$

Sapendo che CD=AC-AB·cos α

$$ \overline{BC}^2 = \overline{BD}^2 + (\overline{AC} - \overline{AB} \cdot \cos \alpha )^2 $$

e che BD=AB·sin α

$$ \overline{BC}^2 = (\overline{AB} \cdot \sin \alpha)^2 + (\overline{AC} - \overline{AB} \cdot \cos \alpha )^2 $$

$$ \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 \cdot \sin^2 \alpha + \overline{AC}^2 -2 \overline{AC} \cdot \overline{AB} \cdot \cos \alpha + \overline{AB}^2 \cdot \cos^2 \alpha$$

$$ \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 \cdot ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \overline{AC}^2 -2 \overline{AC} \cdot \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$

Per la prima relazione fondamentale della trigonometria sin2 α +cos2 α = 1

$$ \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 \cdot ( 1 ) + \overline{AC}^2 -2 \overline{AC} \cdot \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$

$$ \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 -2 \overline{AC} \cdot \overline{AB} \cdot \cos \alpha $$

Il risultato è la formula che volevo dimostrare.

il teorema del coseno

ossia

la dimostrazione del teorema

Nota. Quando il triangolo è un triangolo rettangolo il teorema del coseno si riduce al teorema di Pitagora perché l'angolo alfa in un triangolo rettangolo ha ampiezza 90° e il coseno di 90° è uguale a zero. $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha $$ $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos 90° $$ $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0 $$ $$ a^2 = b^2 + c^2 $$

E così via.

 


 

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