La circonferenza goniometrica

Cos'è la circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è una circonferenza con raggio unitario (r=1), un punto di origine degli archi (A) e un verso antiorario con segno positivo.
la circonferenza goniometrica

E' usata per misurare gli angoli.

Una volta preso un punto P qualsiasi della circonferenza, l'angolo è determinato dal vertice POA.

l'angolo è pari al vertice POA

L'angolo è un angolo orientato poiché nella circonferenza goniometrica c'è un verso antiorario prefissato.

  • L'angolo ha segno positivo se mi sposto sulla circonferenza in senso antiorario.
  • L'angolo ha segno negativo se mi sposto sulla circonferenza in senso orario.il sistema di riferimento antiorario

Nota. Il centro della circonferenza coincide con l'origine O degli assi cartesiani ossia con il punto alle coordinate (0,0) prendendo l'asse delle ascisse positivo (x) come lato origine degli angoli orientati. Quindi il punto A di origine degli archi si trova alle coordinate (1,0) del piano cartesiano.
la circonferenza goniometrica nel piano cartesiano
Poiché il raggio è unitario (r=1) l'equazione della circonferenza goniometrica sul piano cartesiano è $$ x^2+ y^2 = 1 $$

Come misurare l'ampiezza dell'angolo

L'ampiezza dell'angolo è misurato in radianti (rad) se non specificato diversamente.

l'ampiezza dell'angolo

L'ampiezza dell'angolo in radianti è pari al rapporto fra l'arco AP sulla circonferenza goniometrica e il raggio OA.

$$ \alpha = \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} \ rad $$

Quindi, nella circonferenza goniometrica un radiante è un arco AP di lunghezza pari al raggio OA.

il radiante

In questo caso specifico AP=OA e il rapporto è pari a 1

$$ se \ \overline{AP} = \overline{OA} \ \Rightarrow \ \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} = 1 \ rad $$

Il radiante (rad) è l'unità di misura universalmente riconosciuta dell'ampiezza dell'angolo.

Nota. Ci sono anche altre unità di misura per misurare l'angolo. Ad esempio, in gradi. Tuttavia, l'angolo deve essere misurato in gradi sessagesimali o decimali solo se espressamente specificato dal problema.

Perché misurare gli archi in radianti

La lunghezza di un arco di circonferenza in radianti si ottiene con la formula

$$ l = \alpha \cdot r $$

Dove l è la lunghezza dell'arco, alfa è l'angolo e r è il raggio.

l'arco di circonferenza

In una circonferenza goniometrica il raggio è uguale a uno (r=1).

$$ l = \alpha \cdot 1 $$

Quindi, nella circonferenza goniometrica la lunghezza dell'arco in radianti coincide con la misura dell'angolo.

$$ l = \alpha $$

E' uno dei vantaggi della misura degli angoli in radianti (rad).

E così via.

 


 

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