Formule di Werner
Cosa sono le formule di Werner
In trigonometria le formule di Werner trasformano un prodotto di funzioni goniometriche in una somma di funzioni goniometriche. $$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ] $$ $$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) ] $$ $$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) ] $$
A cosa servono?
Le formule di Werner sono l'inverso delle formule di prostaferesi.
Mentre le formule di prostaferesi convertono un prodotto in una somma di funzioni goniometriche, le formule di Werner convertono una somma in un prodotto di funzioni goniometriche.
Nota. Non a caso il matematico Johann Werner è anche l'ideatore delle formule di prostaferesi. Quindi, c'è un forte legame tra le formule di Werner e le formule di prostaferesi. In particolar modo nelle dimostrazioni.
Un esempio pratico
Per fare un esempio semplice considero il seno di 30° (π/6) e il coseno di 60° (π/3)
$$ \sin 30° = \frac{1}{2} $$
$$ \cos 60° = \frac{1}{2} $$
Il prodotto delle due funzioni goniometriche è
$$ \sin 30° \cdot \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$
Ora verifico se la formula di Werner mi restituisce lo stesso risultato.
$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ] $$
In questo caso α=30° e β=60°.
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (30°+60°) + \sin(30°-60°) ] $$
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (90°) + \sin(-30°) ] $$
Il seno di 90° è 1.
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ 1 + \sin(-30°) ] $$
Il seno di -30° è -1/2
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ 1 - \frac{1}{2} ] $$
Semplifico il secondo membro dell'equazione.
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ \frac{2-1}{2} ] $$
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{2} \cdot [ \frac{1}{2} ] $$
$$ \sin 30° \cos 60° = \frac{1}{4} $$
Il risultato è lo stesso.
La dimostrazione
La prima formula di Werner
$$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) ] $$
Per dimostrare la prima formula di Werner considero le formule di addizione e sottrazione del seno
$$ \begin{cases} \sin (\alpha+b) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \\ \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sommo le due formule membro a membro
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$
Poi semplifico
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \cos \beta $$
$$ \sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta) = 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta $$
Divido entrambi i membri delle equazioni per 2
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) ] = \frac{1}{2} \cdot [ 2 \cdot \sin \alpha \cos \beta] $$
Poi semplifico
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) ] = \sin \alpha \cos \beta $$
E ottengo la formula che volevo dimostrare.
La seconda formula di Werner
$$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) ] $$
Per dimostrare la seconda formula di Werner utilizzo le formule di addizione e sottrazione del coseno
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases} $$
Sommo le due formule membro a membro
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$
Poi semplifico
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \cos \alpha \cos \beta $$
$$ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) = 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta $$
Divido entrambi i membri delle equazioni per 2
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) ] = \frac{1}{2} \cdot [ 2 \cdot \cos \alpha \cos \beta] $$
Poi semplifico
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) ] = \cos \alpha \cos \beta $$
E ottengo la formula che volevo dimostrare.
La terza formula di Werner
$$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) ] $$
Per dimostrare la terza formula di Werner uso le formule di addizione e sottrazione del coseno
$$ \begin{cases} \cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \\ \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{cases}$$
Sottraggo le due formule membro a membro
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta - ( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) $$
Poi semplifico
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = - \sin \alpha \sin \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
$$ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) = - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta $$
Divido entrambi i membri delle equazioni per 2
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) ] = \frac{1}{2} \cdot [ - 2 \cdot \sin \alpha \sin \beta] $$
Poi semplifico
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) ] = - \sin \alpha \sin \beta $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1.
$$ (-1) \cdot \{ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) ] \} = (-1) \cdot ( - \sin \alpha \sin \beta ) $$
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \cos (\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta) ] = \sin \alpha \sin \beta $$
E ottengo la formula che volevo dimostrare.
E così via.
