Formule di addizione e sottrazione in trigonometria

In trigonometria le formule di addizione e sottrazione delle funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) sono le seguenti

Seno

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $$ $$ \sin (a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b $$

Dimostrazione della formula di addizione del seno e della formula di sottrazione del seno.

Coseno

$$ \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $$ $$ \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$

Dimostrazione della formula di addizione del coseno e della formula di sottrazione del coseno.

Tangente

$$ \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b} $$ $$ \tan (a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1+ \tan a \tan b} $$

Dimostrazione della formula di addizione della tangente e della formula di sottrazione della tangente.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione due angoli a=30° e b=60°

$$ \sin a = \sin 30° = \frac{1}{2} $$

$$ \sin b = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Il seno della somma a+b non è uguale alla somma del seno dei due angoli

$$ \sin (a+b) \ne \sin(a) + \sin(b) $$

$$ \sin (30°+60°) \ne \sin(30°) + \sin(60°) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$

Nota. Il seno di 30°+60° è il seno di 90°. Tutti sanno che il seno di 90° è 1. Pertanto, è un grave errore calcolare il seno della somma di due angoli sin(a+b) come somma del seno dei rispettivi angoli sin(a)+sin(b).

Il seno della somma a+b si ottiene usando la formula di addizione del seno

$$ \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $$

Sostituisco a=30° e b=60°

$$ \sin (30°+60°) = \sin 30° \cos 60° + \cos 30° \sin 60° $$

Conosco già i valori sin(30°) = 1/2 e sin(60°) = √3/2

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{2} \cdot \cos 60° + ( \cos 30° ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

I valori del coseno di 30° e 60° sono cos(30°) = √3/2 e cos(60°) = 1/2

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin (30°+60°) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} $$

$$ \sin (30°+60°) = \frac{4}{4} $$

$$ \sin (30°+60°) = 1 $$

Il seno di 30°+60° è uguale a uno.

Il risultato è corretto.

E così via.