L'equazione goniometrica del tipo sin(α)=-sin(α')

L'equazione goniometrica $$\sin \alpha = - \sin \alpha'$$ si risolve con la formula $$\sin \alpha = \sin(- \alpha' )$$ le cui soluzioni sono $$α = (-α') + 2k \pi \ ∨ \ α+(-α') = \pi + 2k \pi$$

Un esempio

Devo risolvere l'equazione goniometrica

$$\sin(\frac{1}{2}x) = - \sin(\frac{1}{6}x)$$

Il seno è una funzione dispari.

Quindi posso riscrivere l'equazione in questa forma equivalente considerando -sin(1/6x) = sin(-1/6x)

$$\sin(\frac{1}{2}x) = \sin( - \frac{1}{6}x)$$

In questo modo l'equazione goniometrica diventa del tipo sin(α)=sin(α') con gli angoli

$$\alpha = \frac{1}{2}x \\ \alpha' = - \frac{1}{6}x$$

Questo mi permette di applicare la stessa formula di risoluzione di un'equazione sin(α)=sin(α')

$$α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi$$

Sostituisco α e α' con gli argomenti del seno dell'equazione goniometrica e metto in evidenza l'incognita x

$$\frac{1}{2}x = -\frac{1}{6}x + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x + (-\frac{1}{6}x) = \pi + 2k \pi$$

$$\frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x = 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x -\frac{1}{6}x = \pi + 2k \pi$$

$$\frac{3+1}{6}x = 2k \pi \ ∨ \ \frac{3-1}{6}x = \pi + 2k \pi$$

$$\frac{4}{6}x = 2k \pi \ ∨ \ \frac{2}{6}x = \pi + 2k \pi$$

$$\frac{2}{3}x = 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{3}x = \pi + 2k \pi$$

$$x = \frac{3}{2} \cdot 2k \pi \ ∨ \ x = 3 \cdot ( \pi + 2k \pi )$$

$$x = 3k \pi \ ∨ \ x =3 \pi + 6k \pi$$

Ho trovato le infinite soluzioni dell'equazione goniometrica, dove k è un numero intero qualsiasi (positivo, nullo o negativo).

A questo punto trovo le soluzioni per k=0

$$x = 3(0) \pi \ ∨ \ x =3 \pi + 6(0) \pi$$

$$x = 0 \ ∨ \ x =3 \pi$$

Per k=0 l'equazione goniometrica ha due soluzioni x=0 e x=3π

La prima soluzione x=0 è banale

$$\sin(\frac{1}{2}x) = - \sin(\frac{1}{6}x)$$

$$\sin(\frac{1}{2} \cdot 0) = - \sin(\frac{1}{6} \cdot 0)$$

$$\sin(0)=\sin(0)$$

$$0 = 0$$

Questo vuol dire che le due funzioni si eguagliano nell'origine (x=0)

La seconda soluzione è x=3π

$$\sin(\frac{1}{2}x) = - \sin(\frac{1}{6}x)$$

$$\sin(\frac{1}{2} \cdot 3 \pi) = - \sin(\frac{1}{6} \cdot 3 \pi )$$

$$\sin(\frac{3}{2} \pi) = - \sin(\frac{1}{2} \pi )$$

$$-1 = - 1$$

Le due funzioni si eguagliano anche per x=3π

Le altre infinite soluzioni dell'equazione goniometrica si trovano considerando k=-1, k=2, k=-2, k=3, ecc.

La dimostrazione

La funzione seno è una funzione dispari.

$$\sin ( - \gamma) = - \sin ( \gamma )$$

Pertanto, l'equazione goniometrica

$$\sin \alpha = - \sin ( \alpha’ )$$

si può scrivere in forma equivalente sostituendo -sin(a’) con sin(-a’)

$$\sin \alpha = \sin ( - \alpha‘)$$

In questo modo posso risolvere l'equazione goniometrica come se fosse un caso sin α = sin α'

$$α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi$$

con l'angolo opposto -α'

$$α = (-α') + 2k \pi \ ∨ \ α+(-α') = \pi + 2k \pi$$

E così via.