L'equazione goniometrica sin(α)=-cos(α')
L'equazione goniometrica $$ \sin \alpha = - \cos \alpha' $$ si risolve con la formula equivalente $$ \sin \alpha = \sin (\alpha'-\frac{\pi}{2}) $$ le cui soluzioni sono $$ α = (\alpha'-\frac{\pi}{2}) + 2k \pi \ ∨ \ α+(\alpha'-\frac{\pi}{2}) = \pi + 2k \pi $$
Un esempio
Devo risolvere l'equazione goniometrica
$$ \sin(\frac{1}{2}x) = -\cos(\frac{1}{4}x) $$
Trasformo la funzione coseno -cos(1/4x) in una funzione seno sin(1/4x-π/2)
$$ \sin(\frac{1}{2}x) = \sin(\frac{1}{4}x- \frac{\pi}{2} ) $$
In questo modo l'equazione diventa un'equazione del tipo sin α=sin α' dove.
$$ \alpha = \frac{1}{2}x $$
$$ \alpha' = \frac{1}{4}x - \frac{\pi}{2} $$
Applico la formula per trovare le soluzioni di un'equazione sin α=sin α'
$$ α = α' + 2k \pi \ ∨ \ α+α' = \pi + 2k \pi $$
Dove k è un numero intero qualsiasi.
Sostituisco α e α'
$$ \frac{1}{2}x = (\frac{1}{4}x - \frac{\pi}{2} ) + 2k \pi \ ∨ \ \frac{1}{2}x+(\frac{1}{4}x - \frac{\pi}{2} ) = \pi + 2k \pi $$
Svolgo i calcoli e metto in evidenza la x
$$ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = - \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{3}{4}x = \frac{\pi}{2} + \pi + 2k \pi $$
$$ \frac{1}{4}x = - \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ ∨ \ \frac{3}{4}x = \frac{3}{2} \pi + 2k \pi $$
$$ x = 4 ( - \frac{\pi}{2} + 2k \pi ) \ ∨ \ +x = \frac{4}{3} \cdot ( \frac{3 }{2} \pi + 2k \pi ) $$
$$ x = - 2 \pi + 8k \pi \ ∨ \ +x = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 }{2} \pi + \frac{4}{3} \cdot 2k \pi $$
$$ x = - 2 \pi + 8k \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} k \pi $$
In questo modo ottengo tutte le soluzioni dell'equazione sin x = sin y
A questo punto verifico se effettivamente le soluzioni soddisfano l'equazione goniometrica.
Verifico per k=0
$$ x = - 2 \pi + 8k \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} k \pi $$
$$ x = - 2 \pi + 8(0) \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} (0) \pi $$
$$ x = - 2 \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi $$
Pertanto una soluzione dell'equazione è x=-2π
Un'altra soluzione dell'equazione è x=2π
Verifico per k=1
$$ x = - 2 \pi + 8k \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} k \pi $$
$$ x = - 2 \pi + 8(1) \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} (1) \pi $$
$$ x = 6 \pi \ ∨ \ +x = \frac{14}{3} \pi $$
Pertanto una soluzione dell'equazione è x=6π
Un'altra soluzione dell'equazione è x=14/3π
Verifico per k=-1
$$ x = - 2 \pi + 8k \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} k \pi $$
$$ x = - 2 \pi + 8(-1) \pi \ ∨ \ +x = 2 \pi + \frac{8}{3} (-1) \pi $$
$$ x = -10 \pi \ ∨ \ +x = - \frac{2}{3} \pi $$
Pertanto una soluzione dell'equazione è x=-10π
Un'altra soluzione dell'equazione è x=-2/3π
Variando la variabile k ottengo le altre infinite soluzioni dell'equazione goniometrica.
La dimostrazione
La funzione coseno
$$ \cos \alpha $$
è strettamente legata alla funzione seno, perché il seno e il coseno sono sfasati di 90°(π/2) tra loro.
Quindi, posso riscrivere il coseno nella forma equivalente del seno usando un angolo associato (π/2-α)
$$ \cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha )$$
Il seno e il coseno sono sfasati di 90° (πi/2) tra loro.
Pertanto, l'equazione goniometrica
$$ \sin \alpha = - \cos \alpha' $$
posso riscriverla come
$$ \sin \alpha = - \sin ( \frac{\pi}{2} - \alpha' )$$
Il seno è una funzione dispari -f(x)=f(-x)
Questo mi permette di cambiare il segno meno al secondo membro, portandolo nell'argomento.
$$ \sin \alpha = \sin ( -\frac{\pi}{2} + \alpha' )$$
ossia
$$ \sin \alpha = \sin (\alpha' -\frac{\pi}{2} )$$
In questo modo l'equazione diventa un'uguaglianza del tipo sin(α)=sin(β) le cui soluzioni sono
$$ α = \beta + 2k \pi \ ∨ \ α+\beta = \pi + 2k \pi $$
In questo caso β = α'-π/2
$$ α = ( \alpha'- \frac{\pi}{2} ) + 2k \pi \ ∨ \ α+( \alpha' - \frac{\pi}{2} ) = \pi + 2k \pi $$
Ho ottenuto la formula che volevo dimostrare.
E così via.
