Esercizio calcolo della derivata 1
In questo esercizio devo risolvere questa derivata
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$
Applico la regola in base alla quale la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate.
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{8}\sin(4x) \right) $$
La derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata di una funzione
Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 e 1/8 dalle derivate.
$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$
Poiché la derivata di \(x\) è 1
$$ \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$
Utilizzo la regola delle derivate composte per derivare sin(4x).
La derivata di \(\sin(u)\) è \(\cos(u) \cdot u'\), dove \(u = 4x\) e quindi \(u' = 4\)
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot (4 \cos(4x)) $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(4x) $$
$$ \frac{1}{2} (1 + \cos(4x) ) $$
Quindi, la derivata di \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\) è la seguente:
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) = \frac{1}{2} (1 + \cos(4x) ) $$
Questo è il risultato della derivata.
Nota. Il risultato ottenuto è già accettabile e mi potrei fermare qui. Tuttavia il risultato può essere ulteriormente semplificato usando le proprietà trigonometriche. In particolar modo secondo la formula di duplicazione del coseno posso riscrivere $ \cos(4x) = 2 \cos^2(2x) - 1 $ $$ \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(4x) ) $$ $$ \frac{1}{2} \cdot (1 + 2\cos^2(2x) - 1) $$ $$ \frac{1}{2} \cdot 2\cos^2(2x) $$ Che si semplifica ulteriormente in: $$ \cos^2(2x) $$ Quindi, la derivata di \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\) semplificata è \(\cos^2(2x)\). $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) = \cos^2(2x) $$ In ogni caso, non è detto che sia necessario giungere a questa forma semplificata. Dipende dal problema e dal contesto che sto analizzando. In molti casi basta utilizzare semplicemente il risultato non semplificato.
E così via.
