Esercizi svolti sulle derivate delle funzioni
Alcuni esercizi risolti sulle derivate e svolti in ogni singolo passaggio.
Esercizio |
ddx(1cos(x))ddx(1cos(x)) |
Esercizio | ddx(−ln(cos(x)))ddx(−ln(cos(x))) |
Esercizio | ddxarctan(sin(x))ddxarctan(sin(x)) |
Esercizio | ddx(2e√x)ddx(2e√x) |
Esercizio | ddxx2(ln(x)−1)ddxx2(ln(x)−1) |
Esercizio | ddx(−cos(2x)2)ddx(−cos(2x)2) |
Esercizio | ddx(12x+18sin(4x))ddx(12x+18sin(4x)) |
Esercizio | ddx(−ln(1+cos2(x)))ddx(−ln(1+cos2(x))) |
Esercizio calcolo della derivata 1
In questo esercizio devo risolvere questa derivata
ddx(12x+18sin(4x))ddx(12x+18sin(4x))
Applico la regola in base alla quale la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate.
ddx(12x)+ddx(18sin(4x))ddx(12x)+ddx(18sin(4x))
La derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata di una funzione
Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 e 1/8 dalle derivate.
12⋅ddx(x)+18⋅ddx(sin(4x))12⋅ddx(x)+18⋅ddx(sin(4x))
Poiché la derivata di xx è 1
12⋅1+18⋅ddx(sin(4x))12⋅1+18⋅ddx(sin(4x))
12+18⋅ddx(sin(4x))12+18⋅ddx(sin(4x))
Utilizzo la regola delle derivate composte per derivare sin(4x).
La derivata di sin(u)sin(u) è cos(u)⋅u′, dove u=4x e quindi u′=4
12+18⋅(4cos(4x))
12+12cos(4x)
12(1+cos(4x))
Quindi, la derivata di 12x+18sin(4x) è la seguente:
ddx(12x+18sin(4x))=12(1+cos(4x))
Questo è il risultato della derivata.
Nota. Il risultato ottenuto è già accettabile e mi potrei fermare qui. Tuttavia il risultato può essere ulteriormente semplificato usando le proprietà trigonometriche. In particolar modo secondo la formula di duplicazione del coseno posso riscrivere cos(4x)=2cos2(2x)−1 12⋅(1+cos(4x)) 12⋅(1+2cos2(2x)−1) 12⋅2cos2(2x) Che si semplifica ulteriormente in: cos2(2x) Quindi, la derivata di 12x+18sin(4x) semplificata è cos2(2x). ddx(12x+18sin(4x))=cos2(2x) In ogni caso, non è detto che sia necessario giungere a questa forma semplificata. Dipende dal problema e dal contesto che sto analizzando. In molti casi basta utilizzare semplicemente il risultato non semplificato.
Esercizio calcolo della derivata 2
In questo esercizio devo derivare la funzione
f(x)=x2(ln(x)−1)
Provo a farlo passo per passo.
f′(x)=ddx(x2⋅ln(x)−x2)
Si tratta della derivata di una somma algebrica di funzioni.
Sapendo che la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni, la riscrivo in questo modo.
f′(x)=ddx(x2⋅ln(x))−ddx(x2)
In entrambi i casi si tratta del prodotto di una funzione per una costante (1/2).
Secondo un'altra regola di derivazione, la derivata di una funzione per una costante D[k·g(x)]=k·D[g(x)] è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.
Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 da entrambe le derivate
f′(x)=12⋅ddx(x⋅ln(x))−12⋅ddxx
Per derivare x·ln(x) posso applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.
f′(x)=12⋅[(ddxx)⋅ln(x)+x⋅ddxln(x)]−12⋅ddxx
In questo caso sono due derivate elementari: la derivata D[x]=1 e la derivata del logaritmo naturale D[ln(x)]=1/x.
f′(x)=12⋅(1⋅ln(x)+x⋅1x)−12⋅ddxx
f′(x)=12⋅(ln(x)+1)−12⋅ddxx
A questo punto svolgo l'altra derivata che è elementare poiché D[x]=1
f′(x)=12⋅(ln(x)+1)−12⋅1
f′(x)=12⋅(ln(x)+1)−12
f′(x)=ln(x)2+12−12
f′(x)=ln(x)2
Posso riscrivere 12ln(x) usando la proprietà dei logaritmi che afferma ln(ab)=bln(a)
f′(x)=12ln(x)=ln(x12)
Poi sapendo che qualsiasi numero elevato a 1/2 è uguale alla radice quadrata del valore a12=√a
f′(x)=ln(√x)
Quindi, la derivata della funzione f(x)=x2(ln(x)−1) è:
f′(x)=ddx(x2(ln(x)−1))=ln(√x)
Esercizio calcolo della derivata 3
In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione
f′(x)=ddx(−cos(2x)2)
La costante −12 moltiplica la funzione cos(2x) e può essere portata fuori dall'operazione di derivazione:
f′(x)=ddx(−12cos(2x))
f′(x)=−12⋅ddxcos(2x)
La derivata di cos(2x) rispetto a x è una funzione composta f(u)=u'·f'(u) dove u=2x e f=cos(g)
La derivata di cos(u) è −sin(u), dove u è una funzione di x.
La derivata di u=2x rispetto a x è semplicemente u'=2.
f′(x)=−12⋅[−sin(2x)⋅2]
Moltiplicando le costanti, −12 e 2, ottengo:
f′(x)=−12⋅2⋅[−sin(2x)]
f′(x)=−1⋅[−sin(2x)]
f′(x)=sin(2x)
Dunque, la derivata di −12cos(2x) è sin(2x).
Esercizio calcolo della derivata 4
In questo esercizio devo derivare la funzione arctan[sin(x)]
ddxarctan(sin(x))
Si tratta di una funzione composta f(u) dove f=arctan(u) e u=sin(x)
Quindi, applico la regola di derivazione della funzione composta
ddxarctan(sin(x))=[ddxsin(x)]⋅dduarctan(u)
La derivata del seno sin(x) rispetto a x è cos(x).
[ddxsin(x)]⋅dduarctan(u)
cos(x)⋅dduarctan(u)
La derivata dell'arcotangente arctan(u) rispetto a u è dduarctan(u)=11+u2
cos(x)⋅11+u2
Sostitusco u=sin(x):
cos(x)⋅11+(sin(x))2
Pertanto, il risultato finale è
cos(x)1+sin2(x)
Esercizio calcolo derivata 5
Devo svolgere la derivata di questa funzione:
ddx(−ln(cos(x)))
Per prima cosa, utilizzo una proprietà delle derivate.
La derivata di una funzione moltiplicata per una costante è la costante moltiplicata per la derivata della funzione.
Quindi, posso portare il fattore -1 al di fuori dell'operazione di derivazione.
−1⋅ddx(ln(cos(x)))
−ddx(ln(cos(x)))
La derivata del logaritmo naturale ln(u(x)) rispetto a x è 1u(x)⋅dudx.
In questo caso, u(x)=cos(x).
−1cos(x)⋅ddx(cos(x))
La derivata del coseno cos(x) rispetto a x è −sin(x).
−1cos(x)⋅(−sin(x))
Anche in questo caso posso portare fuori il segno -1.
(−1)⋅−1cos(x)⋅sin(x)
I segni negativi si annullano.
1cos(x)⋅sin(x)
sin(x)cos(x)
In trigonometria il rapporto tra sin(x) e cos(x) è la tangente tan(x).
tan(x)
Pertanto il risultato finale dell'operazione di derivazione è:
ddx(−ln(cos(x)))=tan(x)
Esercizio calcolo derivata 6
In questo esercizio devo derivare la funzione 2e√x rispetto a x.
ddx(2e√x)
Poiché 2 è una costante moltiplicata per la variabile da derivare, può essere portata fuori dalla derivata.
Applico la regola della derivata di un prodotto (kf)'=k(f)' e faccio uscire la costante 2 dall'operazione di derivazione.
2⋅ddx(e√x)
La derivata della funzione esponenziale eu(x) è la derivata di una funzione composta eu(x)⋅dudx, dove u(x)=√x è una funzione di x.
2⋅ddueu⋅ddxu
2⋅ddueu⋅ddx(√x)
La derivata dell'esponenziale è semplicemente ddueu=eu=e√x
2⋅e√x⋅ddx(√x)
La derivata della radice quadrata è ddx(√x)=12√x
2⋅e√x⋅12√x
Moltiplico il risultato per la costante iniziale e semplifico.
2⋅e√x⋅12√x
e√x⋅1√x
Quindi, la derivata di 2e√x rispetto a x è:
ddx(2e√x)=e√x√x
Esercizio calcolo derivata 7
In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione −ln(1+cos2(x))
ddx(−ln(1+cos2(x)))
Per prima cosa applico la regola del prodotto (k·f)'=k·(f)'e faccio uscire il segno meno dall'operazione di derivazione.
ddx(−1⋅ln(1+cos2(x)))
−1⋅ddx(ln(1+cos2(x)))
−ddxln(1+cos2(x))
Si tratta della derivata di una funzione composta del tipo [f(u)]'
ddxf[u(x)]=f′[u(x)]⋅u′(x)
Dove f=ln(u) e u(x)=1+cos2(x)
Quindi, per risolverla applico la regola della catena, calcolo la derivata del logaritmo naturale moltiplicata per la derivata del suo argomento.
La derivata del logaritmo naturale ln(u) è 1u moltiplicata per la derivata di u. Qui, u=1+cos2(x).
−ddxln(1+cos2(x))=−(dduln(u)⋅ddx(1+cos2(x)))
−ddxln(1+cos2(x))=−(1u⋅ddx(1+cos2(x)))
−ddxln(1+cos2(x))=−(11+cos2(x)⋅ddx(1+cos2(x)))
Calcolo la derivata dell'argomento 1+cos2(x) del logaritmo.
La derivata di una somma equivale alla somma delle derivate [f+g]'=f'+g'
−ddxln(1+cos2(x))=−(11+cos2(x)⋅[ddx1+ddxcos2(x)])
La derivata della costante 1 è 0, mentre la derivata di cos2(x) è 2cos(x)⋅(−sin(x)).
−ddxln(1+cos2(x))=−(11+cos2(x)⋅[0+2cos(x)⋅(−sin(x))])
−(11+cos2(x)⋅[−2cos(x)sin(x)])
2cos(x)sin(x)1+cos2(x)
Sapendo che una identità trigonometrica è 2cos(x)sin(x)=sin(2x) sostituisco cos(x)sin(x) con sin(2x)
sin(2x)1+cos2(x)
Quindi, la derivata della funzione è:
ddx(−ln(1+cos2(x)))=sin(2x)1+cos2(x)
Questi passaggi spiegano come si è ottiene il risultato finale di questa operazione di derivazione.
Esercizio calcolo derivata 8
In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione 1/cos(x)
ddx(1cos(x))
Esistono vari modi possibili per risolvere questa derivata.
Soluzione 1
Per prima cosa, riscrivo la funzione come una potenza 1cos(x)=cos(x)−1
ddx(cos(x)−1)
Poi calcolo la derivata della funzione cos(x)−1 utilizzando la regola della catena:
ddx(cos(x)−1)=(−1)⋅cos(x)−2⋅ddx(cos(x))
Ho derivato la parte esterna cos(x)−1 portando giù l'esponente e diminuendolo di 1, e ho moltiplicato tutto per la derivata della funzione interna, che è cos(x).
La derivata di cos(x) è −sin(x). Sostituendo nella formula precedente ottengo:
ddx(cos(x)−1)=(−1)⋅cos(x)−2⋅(−sin(x))
ddx(cos(x)−1)=sin(x)cos2(x)
La frazione ottenuta può essere ulteriormente semplificata. Sappiamo che:
ddx(cos(x)−1)=sin(x)cos2(x)
ddx(cos(x)−1)=tan(x)⋅1cos(x)
Quindi, la derivata della funzione è la seguente:
ddx(cos(x)−1)=tan(x)cos(x)
E' solo uno dei vari possibili per svolgere questa derivata.
Soluzione 2
Esiste un altro modo per calcolare questa derivata utilizzando la definizione della funzione in termini di seno e coseno.
ddx(1cos(x))
La funzione iniziale è f(x)=1cos(x)
Possiamo riscriverla come f(x)=sec(x)
ddxsec(x)
C'è una formula ben nota per la derivata della secante ddxsec(x)=sec(x)tan(x)
Quindi, posso immediatamente scrivere:
ddxsec(x)=ddx(1cos(x))
ddxsec(x)=sec(x)tan(x)
ddxsec(x)=1cos(x)⋅tan(x)
ddxsec(x)=tan(x)cos(x)
Soluzione 3
Un altro modo ancora consiste nel considerare la funzione iniziale come un quoziente.
ddx(1cos(x))
Calcolo la derivata applicando la regola del quoziente:
ddx(1cos(x))=0⋅cos(x)−1⋅(−sin(x))cos2(x)
ddx(1cos(x))=sin(x)cos2(x)
Anche in questo caso, possiamo riscrivere il risultato come tan(x)sec(x).
ddx(1cos(x))=sin(x)cos(x)⋅1cos(x)
Sapendo che sin(x)/cos(x)=tan(x)
ddx(1cos(x))=tan(x)⋅1cos(x)
Tutti i metodi portano allo stesso risultato:
ddx(1cos(x))=tan(x)cos(x)
Quindi ci sono diversi percorsi per raggiungere la stessa risposta, dimostrando la coerenza matematica delle diverse tecniche di derivazione.
E così via.