Esercizi svolti sulle derivate delle funzioni

Alcuni esercizi risolti sulle derivate e svolti in ogni singolo passaggio.

Esercizio

ddx(1cos(x))ddx(1cos(x))

Esercizio ddx(ln(cos(x)))ddx(ln(cos(x)))
Esercizio ddxarctan(sin(x))ddxarctan(sin(x))
Esercizio ddx(2ex)ddx(2ex)
Esercizio ddxx2(ln(x)1)ddxx2(ln(x)1)
Esercizio ddx(cos(2x)2)ddx(cos(2x)2)
Esercizio ddx(12x+18sin(4x))ddx(12x+18sin(4x))
Esercizio ddx(ln(1+cos2(x)))ddx(ln(1+cos2(x)))

 

    Esercizio calcolo della derivata 1

    In questo esercizio devo risolvere questa derivata

    ddx(12x+18sin(4x))ddx(12x+18sin(4x))

    Applico la regola in base alla quale la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate.

    ddx(12x)+ddx(18sin(4x))ddx(12x)+ddx(18sin(4x))

    La derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata di una funzione

    Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 e 1/8 dalle derivate.

    12ddx(x)+18ddx(sin(4x))12ddx(x)+18ddx(sin(4x))

    Poiché la derivata di xx è 1

    121+18ddx(sin(4x))121+18ddx(sin(4x))

    12+18ddx(sin(4x))12+18ddx(sin(4x))

    Utilizzo la regola delle derivate composte per derivare sin(4x).

    La derivata di sin(u)sin(u) è cos(u)u, dove u=4x e quindi u=4

    12+18(4cos(4x))

    12+12cos(4x)

    12(1+cos(4x))

    Quindi, la derivata di 12x+18sin(4x) è la seguente:

    ddx(12x+18sin(4x))=12(1+cos(4x))

    Questo è il risultato della derivata.

    Nota. Il risultato ottenuto è già accettabile e mi potrei fermare qui. Tuttavia il risultato può essere ulteriormente semplificato usando le proprietà trigonometriche. In particolar modo secondo la formula di duplicazione del coseno posso riscrivere cos(4x)=2cos2(2x)1  12(1+cos(4x)) 12(1+2cos2(2x)1) 122cos2(2x) Che si semplifica ulteriormente in: cos2(2x) Quindi, la derivata di 12x+18sin(4x) semplificata è cos2(2x). ddx(12x+18sin(4x))=cos2(2x) In ogni caso, non è detto che sia necessario giungere a questa forma semplificata. Dipende dal problema e dal contesto che sto analizzando. In molti casi basta utilizzare semplicemente il risultato non semplificato.

    Esercizio calcolo della derivata 2

    In questo esercizio devo derivare la funzione

    f(x)=x2(ln(x)1)

    Provo a farlo passo per passo.

    f(x)=ddx(x2ln(x)x2)

    Si tratta della derivata di una somma algebrica di funzioni.

    Sapendo che la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni, la riscrivo in questo modo.

    f(x)=ddx(x2ln(x))ddx(x2)

    In entrambi i casi si tratta del prodotto di una funzione per una costante (1/2).

    Secondo un'altra regola di derivazione, la derivata di una funzione per una costante D[k·g(x)]=k·D[g(x)] è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.

    Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 da entrambe le derivate

    f(x)=12ddx(xln(x))12ddxx

    Per derivare x·ln(x) posso applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.

    f(x)=12[(ddxx)ln(x)+xddxln(x)]12ddxx

    In questo caso sono due derivate elementari: la derivata D[x]=1 e la derivata del logaritmo naturale D[ln(x)]=1/x.

    f(x)=12(1ln(x)+x1x)12ddxx

    f(x)=12(ln(x)+1)12ddxx

    A questo punto svolgo l'altra derivata che è elementare poiché D[x]=1

    f(x)=12(ln(x)+1)121

    f(x)=12(ln(x)+1)12

    f(x)=ln(x)2+1212

    f(x)=ln(x)2

    Posso riscrivere 12ln(x) usando la proprietà dei logaritmi che afferma ln(ab)=bln(a)

    f(x)=12ln(x)=ln(x12)

    Poi sapendo che qualsiasi numero elevato a 1/2 è uguale alla radice quadrata del valore a12=a

    f(x)=ln(x)

    Quindi, la derivata della funzione f(x)=x2(ln(x)1) è:

    f(x)=ddx(x2(ln(x)1))=ln(x)

    Esercizio calcolo della derivata 3

    In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione

    f(x)=ddx(cos(2x)2)

    La costante 12 moltiplica la funzione cos(2x) e può essere portata fuori dall'operazione di derivazione:

    f(x)=ddx(12cos(2x))

    f(x)=12ddxcos(2x)

    La derivata di cos(2x) rispetto a x è una funzione composta f(u)=u'·f'(u) dove u=2x e f=cos(g)

    La derivata di cos(u) è sin(u), dove u è una funzione di x.

    La derivata di u=2x rispetto a x è semplicemente u'=2.

    f(x)=12[sin(2x)2]

    Moltiplicando le costanti, 12 e 2, ottengo:

    f(x)=122[sin(2x)]

    f(x)=1[sin(2x)]

    f(x)=sin(2x)

    Dunque, la derivata di 12cos(2x) è sin(2x).

    Esercizio calcolo della derivata 4

    In questo esercizio devo derivare la funzione arctan[sin(x)]

    ddxarctan(sin(x))

    Si tratta di una funzione composta f(u) dove f=arctan(u) e u=sin(x)

    Quindi, applico la regola di derivazione della funzione composta 

    ddxarctan(sin(x))=[ddxsin(x)]dduarctan(u)

    La derivata del seno sin(x) rispetto a x è cos(x).

    [ddxsin(x)]dduarctan(u)

    cos(x)dduarctan(u)

    La derivata dell'arcotangente arctan(u) rispetto a u è  dduarctan(u)=11+u2

    cos(x)11+u2

    Sostitusco u=sin(x):

    cos(x)11+(sin(x))2

    Pertanto, il risultato finale è

    cos(x)1+sin2(x)

    Esercizio calcolo derivata 5

    Devo svolgere la derivata di questa funzione:

    ddx(ln(cos(x)))

    Per prima cosa, utilizzo una proprietà delle derivate.

    La derivata di una funzione moltiplicata per una costante è la costante moltiplicata per la derivata della funzione.

    Quindi, posso portare il fattore -1 al di fuori dell'operazione di derivazione.

    1ddx(ln(cos(x)))

    ddx(ln(cos(x)))

    La derivata del logaritmo naturale ln(u(x)) rispetto a x è 1u(x)dudx.

    In questo caso, u(x)=cos(x).

    1cos(x)ddx(cos(x))

    La derivata del coseno cos(x) rispetto a x è sin(x).

    1cos(x)(sin(x))

    Anche in questo caso posso portare fuori il segno -1.

    (1)1cos(x)sin(x)

    I segni negativi si annullano.

    1cos(x)sin(x)

    sin(x)cos(x)

    In trigonometria il rapporto tra sin(x) e cos(x) è la tangente tan(x).

    tan(x)

    Pertanto il risultato finale dell'operazione di derivazione è:

    ddx(ln(cos(x)))=tan(x)

    Esercizio calcolo derivata 6

    In questo esercizio devo derivare la funzione 2ex rispetto a x.

    ddx(2ex)

    Poiché 2 è una costante moltiplicata per la variabile da derivare, può essere portata fuori dalla derivata.

    Applico la regola della derivata di un prodotto (kf)'=k(f)' e faccio uscire la costante 2 dall'operazione di derivazione.

    2ddx(ex)

    La derivata della funzione esponenziale eu(x) è la derivata di una funzione composta eu(x)dudx, dove u(x)=x è una funzione di x.

    2ddueuddxu

    2ddueuddx(x)

    La derivata dell'esponenziale è semplicemente ddueu=eu=ex

    2exddx(x)

    La derivata della radice quadrata è ddx(x)=12x

    2ex12x

    Moltiplico il risultato per la costante iniziale e semplifico.

    2ex12x

    ex1x

    Quindi, la derivata di 2ex rispetto a x è:

    ddx(2ex)=exx

    Esercizio calcolo derivata 7

    In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione ln(1+cos2(x))

    ddx(ln(1+cos2(x)))

    Per prima cosa applico la regola del prodotto (k·f)'=k·(f)'e faccio uscire il segno meno dall'operazione di derivazione.

    ddx(1ln(1+cos2(x)))

    1ddx(ln(1+cos2(x)))

    ddxln(1+cos2(x))

    Si tratta della derivata di una funzione composta del tipo [f(u)]'

    ddxf[u(x)]=f[u(x)]u(x)

    Dove f=ln(u) e u(x)=1+cos2(x)

    Quindi, per risolverla applico la regola della catena, calcolo la derivata del logaritmo naturale moltiplicata per la derivata del suo argomento.

    La derivata del logaritmo naturale ln(u) è 1u moltiplicata per la derivata di u. Qui, u=1+cos2(x).

    ddxln(1+cos2(x))=(dduln(u)ddx(1+cos2(x)))

    ddxln(1+cos2(x))=(1uddx(1+cos2(x)))

    ddxln(1+cos2(x))=(11+cos2(x)ddx(1+cos2(x)))

    Calcolo la derivata dell'argomento 1+cos2(x) del logaritmo.

    La derivata di una somma equivale alla somma delle derivate [f+g]'=f'+g'

    ddxln(1+cos2(x))=(11+cos2(x)[ddx1+ddxcos2(x)])

    La derivata della costante 1 è 0, mentre la derivata di cos2(x) è 2cos(x)(sin(x)).

    ddxln(1+cos2(x))=(11+cos2(x)[0+2cos(x)(sin(x))])

    (11+cos2(x)[2cos(x)sin(x)])

    2cos(x)sin(x)1+cos2(x)

    Sapendo che una identità trigonometrica è 2cos(x)sin(x)=sin(2x)  sostituisco cos(x)sin(x) con sin(2x)

    sin(2x)1+cos2(x)

    Quindi, la derivata della funzione è:

    ddx(ln(1+cos2(x)))=sin(2x)1+cos2(x)

    Questi passaggi spiegano come si è ottiene il risultato finale di questa operazione di derivazione.

    Esercizio calcolo derivata 8

    In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione 1/cos(x)

    ddx(1cos(x))

    Esistono vari modi possibili per risolvere questa derivata.

    Soluzione 1

    Per prima cosa, riscrivo la funzione come una potenza 1cos(x)=cos(x)1

    ddx(cos(x)1)

    Poi calcolo la derivata della funzione cos(x)1 utilizzando la regola della catena:

    ddx(cos(x)1)=(1)cos(x)2ddx(cos(x))

    Ho derivato la parte esterna cos(x)1 portando giù l'esponente e diminuendolo di 1, e ho moltiplicato tutto per la derivata della funzione interna, che è cos(x).

    La derivata di cos(x) è sin(x). Sostituendo nella formula precedente ottengo:

    ddx(cos(x)1)=(1)cos(x)2(sin(x))

    ddx(cos(x)1)=sin(x)cos2(x)

    La frazione ottenuta può essere ulteriormente semplificata. Sappiamo che:

    ddx(cos(x)1)=sin(x)cos2(x)

    ddx(cos(x)1)=tan(x)1cos(x)

    Quindi, la derivata della funzione è la seguente:

    ddx(cos(x)1)=tan(x)cos(x)

    E' solo uno dei vari possibili per svolgere questa derivata.

    Soluzione 2

    Esiste un altro modo per calcolare questa derivata utilizzando la definizione della funzione in termini di seno e coseno.

    ddx(1cos(x))

    La funzione iniziale è f(x)=1cos(x)

    Possiamo riscriverla come f(x)=sec(x)

    ddxsec(x)

    C'è una formula ben nota per la derivata della secante ddxsec(x)=sec(x)tan(x)

    Quindi, posso immediatamente scrivere:

    ddxsec(x)=ddx(1cos(x))

    ddxsec(x)=sec(x)tan(x)

    ddxsec(x)=1cos(x)tan(x)

    ddxsec(x)=tan(x)cos(x)

    Soluzione 3

    Un altro modo ancora consiste nel considerare la funzione iniziale come un quoziente.

    ddx(1cos(x))

    Calcolo la derivata applicando la regola del quoziente:

    ddx(1cos(x))=0cos(x)1(sin(x))cos2(x)

    ddx(1cos(x))=sin(x)cos2(x)

    Anche in questo caso, possiamo riscrivere il risultato come tan(x)sec(x).

    ddx(1cos(x))=sin(x)cos(x)1cos(x)

    Sapendo che sin(x)/cos(x)=tan(x)

    ddx(1cos(x))=tan(x)1cos(x)

    Tutti i metodi portano allo stesso risultato:

    ddx(1cos(x))=tan(x)cos(x)

    Quindi ci sono diversi percorsi per raggiungere la stessa risposta, dimostrando la coerenza matematica delle diverse tecniche di derivazione.

    E così via.

     

     

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