Esercizio calcolo della derivata 2
In questo esercizio devo derivare la funzione
$$ f(x) = \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) $$
Provo a farlo passo per passo.
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \cdot \ln(x) - \frac{x}{2} \right) $$
Si tratta della derivata di una somma algebrica di funzioni.
Sapendo che la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni, la riscrivo in questo modo.
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \cdot \ln(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) $$
In entrambi i casi si tratta del prodotto di una funzione per una costante (1/2).
Secondo un'altra regola di derivazione, la derivata di una funzione per una costante D[k·g(x)]=k·D[g(x)] è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.
Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 da entrambe le derivate
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \ln(x) \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
Per derivare x·ln(x) posso applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot [ ( \frac{d}{dx} x ) \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) ] - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
In questo caso sono due derivate elementari: la derivata D[x]=1 e la derivata del logaritmo naturale D[ln(x)]=1/x.
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( \ln(x) + 1 ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
A questo punto svolgo l'altra derivata che è elementare poiché D[x]=1
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( \ln(x) + 1 ) - \frac{1}{2} \cdot 1 $$
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( \ln(x) + 1 ) - \frac{1}{2} $$
$$ f'(x) = \frac{\ln(x)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} $$
$$ f'(x) = \frac{\ln(x)}{2} $$
Posso riscrivere \( \frac{1}{2} \ln(x) \) usando la proprietà dei logaritmi che afferma \( \ln(a^b) = b \ln(a) \)
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \ln(x) = \ln(x^{\frac{1}{2}}) $$
Poi sapendo che qualsiasi numero elevato a 1/2 è uguale alla radice quadrata del valore $ a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a} $
$$ f'(x) = \ln(\sqrt{x}) $$
Quindi, la derivata della funzione \( f(x) = \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) \) è:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} (\ln(x) - 1) \right) = \ln(\sqrt{x}) $$
E così via.
