Esercizi svolti sulle derivate delle funzioni
Alcuni esercizi risolti sulle derivate e svolti in ogni singolo passaggio.
| Esercizio |
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx} \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx} \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$ |
| Esercizio | $$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$ |
Esercizio calcolo della derivata 1
In questo esercizio devo risolvere questa derivata
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$
Applico la regola in base alla quale la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate.
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{8}\sin(4x) \right) $$
La derivata di una costante moltiplicata per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata di una funzione
Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 e 1/8 dalle derivate.
$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$
Poiché la derivata di \(x\) è 1
$$ \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$
Utilizzo la regola delle derivate composte per derivare sin(4x).
La derivata di \(\sin(u)\) è \(\cos(u) \cdot u'\), dove \(u = 4x\) e quindi \(u' = 4\)
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot (4 \cos(4x)) $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(4x) $$
$$ \frac{1}{2} (1 + \cos(4x) ) $$
Quindi, la derivata di \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\) è la seguente:
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) = \frac{1}{2} (1 + \cos(4x) ) $$
Questo è il risultato della derivata.
Nota. Il risultato ottenuto è già accettabile e mi potrei fermare qui. Tuttavia il risultato può essere ulteriormente semplificato usando le proprietà trigonometriche. In particolar modo secondo la formula di duplicazione del coseno posso riscrivere $ \cos(4x) = 2 \cos^2(2x) - 1 $ $$ \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(4x) ) $$ $$ \frac{1}{2} \cdot (1 + 2\cos^2(2x) - 1) $$ $$ \frac{1}{2} \cdot 2\cos^2(2x) $$ Che si semplifica ulteriormente in: $$ \cos^2(2x) $$ Quindi, la derivata di \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\) semplificata è \(\cos^2(2x)\). $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) = \cos^2(2x) $$ In ogni caso, non è detto che sia necessario giungere a questa forma semplificata. Dipende dal problema e dal contesto che sto analizzando. In molti casi basta utilizzare semplicemente il risultato non semplificato.
Esercizio calcolo della derivata 2
In questo esercizio devo derivare la funzione
$$ f(x) = \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) $$
Provo a farlo passo per passo.
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \cdot \ln(x) - \frac{x}{2} \right) $$
Si tratta della derivata di una somma algebrica di funzioni.
Sapendo che la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni, la riscrivo in questo modo.
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \cdot \ln(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) $$
In entrambi i casi si tratta del prodotto di una funzione per una costante (1/2).
Secondo un'altra regola di derivazione, la derivata di una funzione per una costante D[k·g(x)]=k·D[g(x)] è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.
Quindi, faccio uscire le costanti 1/2 da entrambe le derivate
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \left( x \cdot \ln(x) \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
Per derivare x·ln(x) posso applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni.
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot [ ( \frac{d}{dx} x ) \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) ] - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
In questo caso sono due derivate elementari: la derivata D[x]=1 e la derivata del logaritmo naturale D[ln(x)]=1/x.
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( \ln(x) + 1 ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} x $$
A questo punto svolgo l'altra derivata che è elementare poiché D[x]=1
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( \ln(x) + 1 ) - \frac{1}{2} \cdot 1 $$
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot ( \ln(x) + 1 ) - \frac{1}{2} $$
$$ f'(x) = \frac{\ln(x)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} $$
$$ f'(x) = \frac{\ln(x)}{2} $$
Posso riscrivere \( \frac{1}{2} \ln(x) \) usando la proprietà dei logaritmi che afferma \( \ln(a^b) = b \ln(a) \)
$$ f'(x) = \frac{1}{2} \ln(x) = \ln(x^{\frac{1}{2}}) $$
Poi sapendo che qualsiasi numero elevato a 1/2 è uguale alla radice quadrata del valore $ a^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{a} $
$$ f'(x) = \ln(\sqrt{x}) $$
Quindi, la derivata della funzione \( f(x) = \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) \) è:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} (\ln(x) - 1) \right) = \ln(\sqrt{x}) $$
Esercizio calcolo della derivata 3
In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) $$
La costante \(-\frac{1}{2}\) moltiplica la funzione cos(2x) e può essere portata fuori dall'operazione di derivazione:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) $$
$$ f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \cos(2x) $$
La derivata di \(\cos(2x)\) rispetto a \(x\) è una funzione composta f(u)=u'·f'(u) dove u=2x e f=cos(g)
La derivata di \(\cos(u)\) è \(-\sin(u)\), dove \(u\) è una funzione di \(x\).
La derivata di \(u = 2x\) rispetto a \(x\) è semplicemente u'=2.
$$ f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot [ -\sin(2x) \cdot 2 ] $$
Moltiplicando le costanti, \(-\frac{1}{2}\) e 2, ottengo:
$$ f'(x) = \require{cancel} -\frac{1}{ \cancel{2}} \cdot \cancel{2} \cdot [ -\sin(2x) ] $$
$$ f'(x) = - 1 \cdot [ -\sin(2x) ] $$
$$ f'(x) = \sin(2x) $$
Dunque, la derivata di \(-\frac{1}{2} \cos(2x)\) è \(\sin(2x)\).
Esercizio calcolo della derivata 4
In questo esercizio devo derivare la funzione arctan[sin(x)]
$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) $$
Si tratta di una funzione composta f(u) dove f=arctan(u) e u=sin(x)
Quindi, applico la regola di derivazione della funzione composta
$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) = [ \frac{d}{dx} \sin(x) ] \cdot \frac{d}{du} \arctan(u) $$
La derivata del seno sin(x) rispetto a x è cos(x).
$$ [ \frac{d}{dx} \sin(x) ] \cdot \frac{d}{du} \arctan(u) $$
$$ \cos(x) \cdot \frac{d}{du} \arctan(u) $$
La derivata dell'arcotangente arctan(u) rispetto a u è $ \frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} $
$$ \cos(x) \cdot \frac{1}{1+u^2} $$
Sostitusco \(u = \sin(x)\):
$$ \cos(x) \cdot \frac{1}{1+ (\sin(x))^2} $$
Pertanto, il risultato finale è
$$ \frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)} $$
Esercizio calcolo derivata 5
Devo svolgere la derivata di questa funzione:
\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) \]
Per prima cosa, utilizzo una proprietà delle derivate.
La derivata di una funzione moltiplicata per una costante è la costante moltiplicata per la derivata della funzione.
Quindi, posso portare il fattore -1 al di fuori dell'operazione di derivazione.
\[ -1 \cdot \frac{d}{dx} \left(\ln(\cos(x))\right) \]
\[ -\frac{d}{dx} \left(\ln(\cos(x))\right) \]
La derivata del logaritmo naturale \(\ln(u(x))\) rispetto a \(x\) è \(\frac{1}{u(x)} \cdot \frac{du}{dx}\).
In questo caso, \(u(x) = \cos(x)\).
\[ -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) \]
La derivata del coseno \(\cos(x)\) rispetto a \(x\) è \(-\sin(x)\).
\[ -\frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \]
Anche in questo caso posso portare fuori il segno -1.
\[ (-1) \cdot -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \sin(x) \]
I segni negativi si annullano.
\[ \frac{1}{\cos(x)} \cdot \sin(x) \]
\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
In trigonometria il rapporto tra \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) è la tangente \(\tan(x)\).
\[ \tan(x) \]
Pertanto il risultato finale dell'operazione di derivazione è:
\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) = \tan(x) \]
Esercizio calcolo derivata 6
In questo esercizio devo derivare la funzione \( 2e^{\sqrt{x}} \) rispetto a \( x \).
$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) $$
Poiché 2 è una costante moltiplicata per la variabile da derivare, può essere portata fuori dalla derivata.
Applico la regola della derivata di un prodotto (kf)'=k(f)' e faccio uscire la costante 2 dall'operazione di derivazione.
$$ 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{x}} \right) $$
La derivata della funzione esponenziale \( e^{u(x)} \) è la derivata di una funzione composta \( e^{u(x)} \cdot \frac{du}{dx} \), dove \( u(x) = \sqrt{x} \) è una funzione di \( x \).
$$ 2 \cdot \frac{d}{d u} e^{u} \cdot \frac{d}{dx} u $$
$$ 2 \cdot \frac{d}{d u} e^{u} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) $$
La derivata dell'esponenziale è semplicemente $ \frac{d}{d u} e^{u} = e^u = e^{\sqrt{x}} $
$$ 2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) $$
La derivata della radice quadrata è $ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$$ 2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
Moltiplico il risultato per la costante iniziale e semplifico.
$$ \require{cancel} \cancel{2} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{ \cancel{2} \sqrt{x}} $$
$$ e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{ \sqrt{x} } $$
Quindi, la derivata di \( 2e^{\sqrt{x}} \) rispetto a \( x \) è:
$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $$
Esercizio calcolo derivata 7
In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione \(-\ln(1 + \cos^2(x))\)
$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$
Per prima cosa applico la regola del prodotto (k·f)'=k·(f)'e faccio uscire il segno meno dall'operazione di derivazione.
$$ \frac{d}{dx} \left( -1 \cdot \ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$
$$ -1 \cdot \frac{d}{dx} \left( \ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$
$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) $$
Si tratta della derivata di una funzione composta del tipo [f(u)]'
$$ \frac{d}{dx} f[u(x)] = f'[u(x)] \cdot u'(x) $$
Dove $ f= \ln(u) $ e $ u(x)= 1 + \cos^2(x) $
Quindi, per risolverla applico la regola della catena, calcolo la derivata del logaritmo naturale moltiplicata per la derivata del suo argomento.
La derivata del logaritmo naturale \(\ln(u)\) è \(\frac{1}{u}\) moltiplicata per la derivata di \(u\). Qui, \(u = 1 + \cos^2(x)\).
$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{d}{du} \ln(u) \cdot \frac{d}{dx} (1 + \cos^2(x)) \right) $$
$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{dx} (1 + \cos^2(x)) \right) $$
$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \frac{d}{dx} (1 + \cos^2(x)) \right) $$
Calcolo la derivata dell'argomento \(1 + \cos^2(x)\) del logaritmo.
La derivata di una somma equivale alla somma delle derivate [f+g]'=f'+g'
$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \left[ \frac{d}{dx} 1 + \frac{d}{dx} \cos^2(x) \right] \right) $$
La derivata della costante 1 è 0, mentre la derivata di \(\cos^2(x)\) è \(2 \cos(x) \cdot (-\sin(x))\).
$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) = - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \left[ 0 + 2 \cos(x) \cdot (-\sin(x)) \right] \right) $$
$$ - \left( \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \left[-2 \cos(x) \sin(x) \right] \right) $$
$$ \frac{2 \cos(x) \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} $$
Sapendo che una identità trigonometrica è $2 \cos(x) \sin(x) = \sin(2x) $ sostituisco $ \cos(x) \sin(x) $ con $ \sin(2x) $
$$ \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} $$
Quindi, la derivata della funzione è:
$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) = \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} $$
Questi passaggi spiegano come si è ottiene il risultato finale di questa operazione di derivazione.
Esercizio calcolo derivata 8
In questo esercizio devo calcolare la derivata della funzione 1/cos(x)
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$
Esistono vari modi possibili per risolvere questa derivata.
Soluzione 1
Per prima cosa, riscrivo la funzione come una potenza $ \frac{1}{\cos(x)} = \cos(x)^{-1} $
$$ \frac{d}{dx} \left( \cos(x)^{-1} \right) $$
Poi calcolo la derivata della funzione \( \cos(x)^{-1} \) utilizzando la regola della catena:
$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = (-1) \cdot \cos(x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x)) $$
Ho derivato la parte esterna \( \cos(x)^{-1} \) portando giù l'esponente e diminuendolo di 1, e ho moltiplicato tutto per la derivata della funzione interna, che è \( \cos(x) \).
La derivata di \( \cos(x) \) è \( -\sin(x) \). Sostituendo nella formula precedente ottengo:
$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = (-1) \cdot \cos(x)^{-2} \cdot (-\sin(x)) $$
$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$
La frazione ottenuta può essere ulteriormente semplificata. Sappiamo che:
$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$
$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} $$
Quindi, la derivata della funzione è la seguente:
$$ \frac{d}{dx} \left(\cos(x)^{-1}\right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$
E' solo uno dei vari possibili per svolgere questa derivata.
Soluzione 2
Esiste un altro modo per calcolare questa derivata utilizzando la definizione della funzione in termini di seno e coseno.
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$
La funzione iniziale è $ f(x) = \frac{1}{\cos(x)} $
Possiamo riscriverla come $ f(x) = \sec(x) $
$$ \frac{d}{dx} \sec(x) $$
C'è una formula ben nota per la derivata della secante $ \frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x) \tan(x) $
Quindi, posso immediatamente scrivere:
$$ \frac{d}{dx} \sec(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$
$$ \frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x) \tan(x) $$
$$ \frac{d}{dx} \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \tan(x) $$
$$ \frac{d}{dx} \sec(x) = \frac{\tan(x)}{\cos(x) } $$
Soluzione 3
Un altro modo ancora consiste nel considerare la funzione iniziale come un quoziente.
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$
Calcolo la derivata applicando la regola del quoziente:
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} $$
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$
Anche in questo caso, possiamo riscrivere il risultato come \( \tan(x) \sec(x) \).
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)} $$
Sapendo che sin(x)/cos(x)=tan(x)
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \tan(x) \cdot \frac{1}{ \cos(x) } $$
Tutti i metodi portano allo stesso risultato:
$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x) } $$
Quindi ci sono diversi percorsi per raggiungere la stessa risposta, dimostrando la coerenza matematica delle diverse tecniche di derivazione.
E così via.
