Derivata dell'esponenziale
La derivata dell'esponenziale ex è $$ D[e^x] = e^x $$ La derivata di una funzione esponenziale f(x)=ax con a>0 è $$ D[a^x] = a^x \cdot \log a $$
Un esempio pratico
Devo calcolare la derivata prima della funzione
$$ f(x) = e^{3x} $$
Si tratta di una funzione composta.
Pertanto, devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ f'(x) = D[e^{3x}] \cdot D[3x] $$
La derivata dell'esponenziale è l'esponenziale stesso
$$ f'(x) = e^{3x} \cdot D[3x] $$
La derivata di 3x è 3
$$ f'(x) = e^{3x} \cdot 3 $$
Quindi, la derivata prima della funzione è
$$ f'(x) = 3e^{3x} $$
Esempio 2
Devo derivare la funzione
$$ f(x) = a^{2x} $$
Si tratta di una funzione composta.
Pertanto devo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ f'(x)=D[a^{2x}] \cdot D[2x] $$
La prima derivata è la derivata dell'esponenziale
$$ f'(x)=a^{2x} \log a \cdot D[2x] $$
La seconda derivata è la derivata di 2x ossia 2
$$ f'(x)=a^{2x} \log a \cdot 2 $$
Ho così trovato la derivata della funzione
$$ f'(x)= 2 \cdot a^{2x} \log a $$
Dimostrazione e spiegazione
A] Dimostrazione della regola $ D[e^x] = e^x $
La funzione f(x) dell'esponenziale di x
$$ f(x)=e^x $$
è invertibile e la sua funzione inversa è
$$ x = \log f(x) $$
Pertanto, posso usare la regola di derivazione della funzione inversa
$$ D[f] = \frac{1}{D[f^{-1}]} $$
$$ D[e^x] = \frac{1}{D[\log f(x)]} $$
Sapendo che la derivata del logaritmo è 1/x
$$ D[e^x] = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} $$
$$ D[e^x] = f(x) $$
poiché f(x) è uguale a ex
$$ D[e^x] = e^x $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione dell'esponenziale.
B] Dimostrazione della regola $ D[a^x] = a^x \cdot \log a $
Per dimostrare la seguente regola di derivazione
$$ D[a^x] = a^x \cdot \log a $$
faccio riferimento a una proprietà delle funzioni esponenziali secondo cui
$$ e^{\log x} = x $$
Riscrivo la derivata nella forma equivalente
$$ D[a^x] $$
$$ D[e^{\log a^x}] $$
$$ D[e^{x \cdot \log a}] $$
Poi applico la regola di derivazione delle funzioni composte
$$ D[e^{x \cdot \log a}] \cdot D[ x \log a] $$
$$ e^{x \cdot \log a} \cdot ( 1 \cdot \log a + x \cdot 0 ) $$
$$ e^{x \cdot \log a} \cdot ( \log a ) $$
$$ e^{\log a^x} \cdot ( \log a ) $$
$$ a^x \cdot \log a $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione.
E così via.
