Derivata dell'esponenziale

La derivata dell'esponenziale e^x è $$D[e^x] = e^x$$ La derivata di una funzione esponenziale f(x)=a^x con a>0 è $$D[a^x] = a^x \cdot \log a$$

Un esempio pratico

Devo calcolare la derivata prima della funzione

$$f(x) = e^{3x}$$

Si tratta di una funzione composta.

Pertanto, devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte.

$$f'(x) = D[e^{3x}] \cdot D[3x]$$

La derivata dell'esponenziale è l'esponenziale stesso

$$f'(x) = e^{3x} \cdot D[3x]$$

La derivata di 3x è 3

$$f'(x) = e^{3x} \cdot 3$$

Quindi, la derivata prima della funzione è

$$f'(x) = 3e^{3x}$$

Esempio 2

Devo derivare la funzione

$$f(x) = a^{2x}$$

Si tratta di una funzione composta.

Pertanto devo applicare la regola di derivazione delle funzioni composte.

$$f'(x)=D[a^{2x}] \cdot D[2x]$$

La prima derivata è la derivata dell'esponenziale

$$f'(x)=a^{2x} \log a \cdot D[2x]$$

La seconda derivata è la derivata di 2x ossia 2

$$f'(x)=a^{2x} \log a \cdot 2$$

Ho così trovato la derivata della funzione

$$f'(x)= 2 \cdot a^{2x} \log a$$

Dimostrazione e spiegazione

A] Dimostrazione della regola $D[e^x] = e^x$

La funzione f(x) dell'esponenziale di x

$$f(x)=e^x$$

è invertibile e la sua funzione inversa è

$$x = \log f(x)$$

Pertanto, posso usare la regola di derivazione della funzione inversa

$$D[f] = \frac{1}{D[f^{-1}]}$$

$$D[e^x] = \frac{1}{D[\log f(x)]}$$

Sapendo che la derivata del logaritmo è 1/x

$$D[e^x] = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}$$

$$D[e^x] = f(x)$$

poiché f(x) è uguale a e^x

$$D[e^x] = e^x$$

Ho così dimostrato la regola di derivazione dell'esponenziale.

B] Dimostrazione della regola $D[a^x] = a^x \cdot \log a$

Per dimostrare la seguente regola di derivazione

$$D[a^x] = a^x \cdot \log a$$

faccio riferimento a una proprietà delle funzioni esponenziali secondo cui

$$e^{\log x} = x$$

Riscrivo la derivata nella forma equivalente

$$D[a^x]$$

$$D[e^{\log a^x}]$$

$$D[e^{x \cdot \log a}]$$

Poi applico la regola di derivazione delle funzioni composte

$$D[e^{x \cdot \log a}] \cdot D[ x \log a]$$

$$e^{x \cdot \log a} \cdot ( 1 \cdot \log a + x \cdot 0 )$$

$$e^{x \cdot \log a} \cdot ( \log a )$$

$$e^{\log a^x} \cdot ( \log a )$$

$$a^x \cdot \log a$$

Ho così dimostrato la regola di derivazione. 

E così via.