Sistema di equazioni indeterminato

Un sistema di equazioni è indeterminato se ammette infinite soluzioni.

In particolar modo un sistema lineare (1° grado) in forma normale

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

ha infinite soluzioni se il rapporto tra i coefficienti x e y è uguale al rapporto dei termini noti delle due equazioni

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$

Questa semplice verifica mi permette di capire se un sistema lineare è indeterminato, ossia ha infinite soluzioni, senza doverlo risolvere algebricamente.

Nota. Se i rapporti a₁/a₂ = b₁/b₂ sono uguali al rapporto dei termini noti c₁/c₂ le due rette sono rette coincidenti. Hanno lo stesso coefficiente angolare e la stessa intersezione sull'asse delle y. Essendo rette coincidenti hanno infiniti punti in comune e il sistema ha infinite soluzioni (sistema indeterminato).

Questo accade quando le equazioni del sistema sono equazioni equivalenti ossia uguali o multiple tra loro.

Un esempio pratico

Devo capire se questo sistema lineare è indeterminato

$$ \begin{cases} 2x + 4y = 3 \\ \\ 4x + 8y = 6 \end{cases} $$

Per prima cosa verifico se il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y è uguale

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} $$

I coefficienti delle variabili x e y sono a₁=2, b₁=4, a₂=4, b₂=-8

$$ \frac{2}{4} = \frac{4}{8} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

La prima verifica è soddisfatta perché il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y è uguale.

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} $$

Questo vuol dire che le rette hanno la stessa inclinazione.

Nota. Se il rapporto tra i coefficienti fosse diverso l'esercizio finirebbe qui. Due equazioni ax+by=c con diversa inclinazione sono rette che si intersecano in un punto del piano. In questo caso il sistema ha una e una sola soluzione (sistema determinato) ed è del tutto inutile verificare la seconda condizione.

A questo punto verifico se il rapporto se il rapporto dei coefficienti è uguale dal rapporto dei termini noti.

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$

Conosco già il rapporto tra i coefficienti a₁/a₂=b₁/b₂=1/2

$$ \frac{1}{2} = \frac{c_1}{c_2} $$

Sapendo che i termini noti delle equazioni sono c₁=3 e c₂=6

$$ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

La seconda condizione è soddisfatta.

Pertanto, il sistema di equazioni ha infinite soluzioni, ossia è indeterminato.

Verifica. Per verificare il risultato uso il metodo grafico. Rappresento le due equazioni sul piano. Essendo equazioni del tipo ax+by=c sono rappresentate da rette. In questo caso le due rette sono incidenti. Quindi, le due rette hanno infiniti punti in comune. E' la conferma che il sistema ha infinite soluzioni.

Esempio 2

Il precedente esempio potevo svolgerlo più rapidamente

$$ \begin{cases} 2x + 4y = 3 \\ \\ 4x + 8y = 6 \end{cases} $$

A colpo d'occhio mi accorgo che i coefficienti della prima equazione sono la metà dei rispettivi coefficienti della seconda equazione

$$ \begin{cases} \color{red}2x + \color{blue}4y = \color{green}3 \\ \\ \color{red}4x + \color{blue}8y = \color{green}6 \end{cases} $$

Per la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplico per due entrambi i membri della prima equazione

$$ \begin{cases} 2 \cdot( 2x + 4y ) = 2 \cdot 3 \\ \\ 4x + 8y = 6 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 4x + 8y = 6 \\ \\ 4x + 8y = 6 \end{cases} $$

Ora le due equazioni del sistema sono uguali. Quindi, sono rette coincidenti con infiniti punti in comune.

Pertanto, il sistema ha infinite soluzioni ossia è indeterminato.

La dimostrazione

Considero un sistema di equazioni di 1° grado (lineare) con due variabili indipendenti x e y

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Scrivo le equazioni del sistema in forma esplicita

$$ \begin{cases} y = -\frac{a_1}{b_1} x + \frac{c_1}{b_1} \\ \\ y = -\frac{a_2}{b_2} x + \frac{c_2}{b_2} \end{cases} $$

Rappresento il sistema lineare sul piano cartesiano xy.

Ogni retta individua le soluzioni di un'equazione lineare del sistema.

Quando due rette hanno un coefficiente angolare diverso si intersecano in un punto.

In questo caso, le due equazioni hanno una soluzione in comune e il sistema di equazioni è un sistema determinato.

Per evitare che due rette non si intersechino in un punto, le due rette devono avere lo stesso coefficiente angolare, ossia la stessa inclinazione.

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} $$

Nota. L'uguaglianza dei coefficienti angolari posso riscriverla in una forma equivalente $$ - \frac{a_1}{b_1} = - \frac{a_2}{b_2} $$ Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri per -1 $$ (-1) \cdot -\frac{a_1}{b_1} = -\frac{a_2}{b_2} \cdot (-1) $$ $$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} $$ Poi moltiplico entrambi i membri dell'equazione per b₁/a₂ e semplifico $$ \frac{a_1}{b_1} \cdot ( \frac{b_1}{a_2} ) = \frac{a_2}{b_2} \cdot ( \frac{b_1}{a_2} ) $$ $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} $$ In alcuni testi la stessa condizione è scritta in forme algebriche equivalenti. Ad esempio $$ a_1 b_2 = a_2 b_1 $$ oppure $$ a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0 $$ Dal punto di vista geometrico il significato è sempre lo stesso.

Tuttavia, l'uguaglianza dei coefficienti angolari non basta a garantire che ci siano infinite soluzioni.

Ad esempio, due rette con lo stesso coefficiente angolare potrebbero anche essere rette parallele.

Nota. Quando due rette sono parallele non hanno punti in comune. In questo caso il sistema di equazioni non ha soluzioni ossia è un sistema impossibile.

Per evitare che le rette siano parallele le due equazioni del sistema devono avere lo stesso coefficiente angolare e la stessa intersezione con l'asse delle ordinate.

L'intersezione con l'asse delle ordinate è determinata dai termini c₁/b₁ e c₂/b2 delle due equazioni,

$$ \begin{cases} y = -\frac{a_1}{b_1} x \color{red}{ + \frac{c_1}{b_1} } \\ \\ y = -\frac{a_2}{b_2} x \color{red} {+ \frac{c_2}{b_2} } \end{cases} $$

Sapendo che devono essere uguali scrivo l'uguaglianza

$$ \frac{c_1}{b_1} = \frac{c_2}{b_2} $$

Dopo un semplice passaggio algebrico questa condizione diventa

$$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{b_1}{b_2} $$

Sapendo che b₁/b₂=a₁/a₂ perché le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare

$$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2} $$

Quindi, per evitare che due rette con lo stesso coefficiente angolare siano parallele il rapporto dei coefficienti a₁/a₂=b₁/b₂ deve essere uguale al rapporto dei termini noti c₁/c₂.

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$

In questo modo le due rette sono rette coincidenti.

Due rette coincidenti hanno infiniti punti in comune. Pertanto, il sistema ha infinite soluzioni (sistema indeterminato).

E' quello che volevo dimostrare.

E così via.