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Sistema di equazioni impossibile

Un sistema di equazioni è impossibile se non ammette soluzioni.

In particolar modo un sistema lineare (1° grado)

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

non ha soluzioni se si verificano queste due condizioni

  • il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y delle due equazioni è uguale a1a2=b1b2
  • il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y non è uguale al rapporto dei termini noti a1a2=b1b2c1c2

Questa semplice verifica mi permette di capire se un sistema lineare non ha soluzioni senza dover svolgere alcun calcolo.

Nota. Se i rapporti a1/a2 ≠ b1/b2 sono diversi, le rette hanno un coefficiente angolare diverso a1/b1 ≠ a2/b2, ossia una diversa inclinazione. Due rette con diversa inclinazione sono rette incidenti perché si incontrano in un punto. Quindi il sistema ha una soluzione (sistema determinato). Se i rapporti a1/a2 = b1/b2 sono uguali al rapporto dei termini noti c1/c2 allora le due rette sono rette coincidenti. In questo caso le equazioni hanno infiniti punti in comune e il sistema ha infinite soluzioni (sistema indeterminato).

Un esempio pratico

Devo capire se questo sistema lineare è determinato

{2x+4y=34x+8y=5

Verifico se il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y è uguale

a1a2=b1b2

Sapendo che i coefficienti delle variabili x e y sono a1=2, b1=4, a2=4, b2=-8

24=48

12=12

Il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y è uguale.

a1a2=b1b2=12

La prima condizione è soddisfatta.

Nota. se il rapporto tra i coefficienti fosse diverso l'esercizio finirebbe qui. Se la prima condizione non è soddisfatta, è del tutto inutile verificare la seconda condizione.

Ora per capire se il sistema non ha soluzioni devo verificare se il rapporto dei coefficienti è diverso dal rapporto dei termini noti.

a1a2=b1b2c1c2

Conosco già il rapporto tra i coefficienti a1/a2=b1/b2=1/2

12c1c2

Sapendo che i termini noti delle equazioni sono c1=3 e c2=-5

1235

La seconda condizione è soddisfatta.

Pertanto, posso affermare con certezza che il sistema non ha soluzioni ossia è un sistema impossibile.

Verifica. Utilizzo il metodo grafico per verificare se il sistema di equazioni lineari non ammette soluzioni. Le rette delle due equazioni sono parallele. Quindi, le rette non hanno punti in comune. Questo vuol dire che il sistema non ha soluzioni.
il sistema non ammette soluzioni

La dimostrazione

Considero un sistema di equazioni di 1° grado (lineare) con due variabili indipendenti x e y

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

Un sistema lineare con due variabili posso rappresentarlo sul piano cartesiano xy.

Ogni equazione lineare del sistema individua una retta sul piano.

la rappresentazione grafica del sistema

Nota. I punti della retta di un'equazione sono i valori (x;y) che soddisfano l'equazione.

Se le due rette si intersecano le due equazioni hanno un punto in comune.

Quindi il sistema ha una soluzione (sistema determinato).

la soluzione del sistema

Pertanto, un sistema di equazioni non ammette soluzioni solo se le equazioni non si intersecano.

Questo accade solo nel caso in cui le due rette sono rette parallele.

un esempio di sistema impossibile

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare e un termine noto diverso.

Scrivo le equazioni del sistema in forma esplicita

{y=a1b1x+c1b1y=a2b2x+c2b2

Se le rette sono parallele i coefficienti angolari delle due rette -a1/b1 e -a2/b2 devono essere uguali

a1b1=a2b2

Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri per -1

(1)a1b1=a2b2(1)

a1b1=a2b2

Poi moltiplico entrambi i membri dell'equazione per b1/a2 e semplifico

a1b1(b1a2)=a2b2(b1a2)

a1a2=b1b2

Nota. In alcuni testi la stessa condizione è scritta in forme algebriche equivalenti. Ad esempio a1b2=a2b1 oppure a1b2a2b1=0 Dal punto di vista geometrico il significato è sempre lo stesso.

Tuttavia, l'uguaglianza dei coefficienti angolari non basta a garantire che le rette siano parallele.

Ad esempio, due rette con lo stesso coefficiente angolare potrebbero anche essere coincidenti.

Due rette coincidenti hanno infiniti punti in comune. In questo caso il sistema ha infinite soluzioni (sistema indeterminato).

il sistema è indeterminato

Per evitare che le rette siano coincidenti il rapporto dei coefficienti a1/a2=b1/b2 deve essere diverso dal rapporto dei termini noti c1/c2.

a1a2=b1b2c1c2

In questo modo le rette sono parallele, non hanno punti in comune e il sistema è senza soluzioni (sistema impossibile).

un esempio di sistema impossibile

E' quello che volevo dimostrare.

E così via.

 


 

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